(4) 1. Para alguns sistemas dissipativos simples, podemos utilizar uma formulação lagrangiana que não precise da função de dissipação de Rayleigh. Dois casos, provavelmente já estudados em Física II ou Mecânica Clássica I, são de particular interesse devido aos fenômenos intrínsecos: queda livre com arrasto e oscilador harmônico amortecido, já que ambos possuem forças dissipativas opostas à velocidade. Utilizando o formalismo newtoniano, encontre as equações de movimento para esses sistemas ( 0,5 pontos cada equação). Encontre as lagrangianas das versões conservativas desses sistemas ( 0,5 pontos cada lagrangiana). Em seguida, proponha uma lagrangiana dissipativa na forma L^{\prime}=g(t) L, onde g(t) deve ser tal que as equações de movimento geradas a partir de L^{\prime} correspondam às equações de movimento dos sistemas dissipativos supracitados ( 0,5 pontos cada função g ). Finalmente, escreva a forma final das lagrangianas dissipativas L^{\prime} para cada sistema trabalhado ( 0,5 pontos para cada lagrangiana).

Passo 1

O enunciado pede, para dois sistemas dissipativos (queda livre com arrasto linear e oscilador harmônico amortecido), o seguinte para cada sistema:
  1. A equação de movimento usando o formalismo newtoniano.
  2. A lagrangiana da versão conservativa (sem dissipação).
  3. Propor uma função g(t) tal que, usando L' = g(t)\,L, a equação de Euler–Lagrange produz a equação de movimento dissipativa desejada.
  4. Escrever a lagrangiana dissipativa final L'.
Informações e convenções que vamos usar (tudo fornecido ou padrão nesses problemas):
  • Massa: \,m.
  • Queda livre: aceleração gravitacional \,g_{\mathrm{grav}} (uso esse nome para não confundir com g(t)). Arrasto linear com coeficiente \,b; força de arrasto dada por \,F_{\text{arr}}=-b\dot x (oposta à velocidade). Tomamos x positivo para cima; assim o peso dá força -m g_{\mathrm{grav}}.
  • Oscilador: mola com constante elástica \,k, amortecimento linear com coeficiente \,c; força de arrasto -c\dot x. Coordenada x medida a partir da posição de equilíbrio.
  • Lagrangiana conservativa padrão: L=T-V, com energia cinética T=\tfrac{1}{2}m\dot x^2 e potencial V apropriado.
  • Vamos usar L' = g(t)\,L e derivar a condição sobre g(t) exigida para gerar o termo de amortecimento linear nas equações de movimento.

Passo 2

Equação de movimento newtoniana — queda livre com arrasto linear.
Explicação curta: a segunda lei de Newton diz que a soma das forças é igual a m\ddot x. As forças aqui são o peso (para baixo) e o arrasto (oposto à velocidade). Com x positivo para cima, peso é -m g_{\mathrm{grav}} e arrasto é -b\dot x. Portanto, escrevemos:
m\ddot x = -m g_{\mathrm{grav}} - b\dot x.
Reescrevendo em forma mais usual:
m\ddot x + b\dot x + m g_{\mathrm{grav}} = 0.
Comentário didático: essa é uma EDO linear de segunda ordem com termo de primeiro derivada proporcional a \dot x representando a dissipação.

Passo 3

Equação de movimento newtoniana — oscilador harmônico amortecido.
Explicação curta: forças presentes são a força elástica da mola (para a posição x é -k x) e o arrasto -c\dot x. Aplicando m\ddot x = \sum F:
m\ddot x = -c\dot x - k x.
Ou reorganizando:
m\ddot x + c\dot x + k x = 0.
Comentário didático: essa é a equação padrão do oscilador linear amortecido; c determina o amortecimento.

Passo 4

Lagrangiana conservativa — princípio e construção.
Explicação didática: Para sistemas sem dissipação a lagrangiana é L=T-V. T é a energia cinética, que para uma partícula unidimensional é sempre \tfrac{1}{2}m\dot x^2. V é o potencial associado às forças conservativas (gravidade ou mola). Não estamos incluindo termos dependentes explicitamente do tempo nesta versão conservativa.
Aplicando isso aos dois casos:
  • Queda livre (conservativa, sem arrasto): o potencial gravitacional, com x positivo para cima, é V=m g_{\mathrm{grav}} x. Assim
L_{\text{queda, cons}} = \tfrac{1}{2}m\dot x^2 - m g_{\mathrm{grav}} x.
Explanação: \partial V/\partial x = m g_{\mathrm{grav}} e a força conservativa é -\partial V/\partial x = -m g_{\mathrm{grav}}, ok.
  • Oscilador harmônico (conservativo, sem amortecimento): o potencial elástico é V=\tfrac{1}{2}k x^2. Assim
L_{\text{osc, cons}} = \tfrac{1}{2}m\dot x^2 - \tfrac{1}{2}k x^2.
Explanação: Euler–Lagrange para essa L m\ddot x + k x = 0, que é a equação do oscilador sem amortecimento.

Passo 5

Como L' = g(t)\,L modifica as equações de Euler–Lagrange — derivação geral e ideia para obter amortecimento.
Queremos escrever a equação de Euler–Lagrange para L'. A equação geral é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L'}{\partial \dot x}\right)-\frac{\partial L'}{\partial x}=0.
Como L' = g(t)\,L(x,\dot x), calculemos os termos:
\frac{\partial L'}{\partial \dot x} = g(t)\,\frac{\partial L}{\partial \dot x},
\frac{\partial L'}{\partial x} = g(t)\,\frac{\partial L}{\partial x}.
Agora o termo temporal:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L'}{\partial \dot x}\right) = \frac{d}{dt}\!\left(g\,\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right) = g\,\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right) + \dot g\,\frac{\partial L}{\partial \dot x}.
Substituindo na EL:
g\left[\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}\right] + \dot g\,\frac{\partial L}{\partial \dot x} = 0.
Reescrevendo:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right)-\frac{\partial L}{\partial x} = -\frac{\dot g}{g}\,\frac{\partial L}{\partial \dot x}.
Interpretação: o lado esquerdo é a equação de movimento conservativa; o fator à direita introduz um termo proporcional a \partial L/\partial \dot x. Para as lagrangianas conservativas que usamos, \partial L/\partial \dot x = m\dot x. Assim o termo de correção vira algo proporcional a m\dot x, isto é, um termo de amortecimento linear.

Passo 6

Aplicação ao caso da queda livre: encontrar g(t) que reproduz o arrasto -b\dot x.
Para L_{\text{queda, cons}} = \tfrac{1}{2}m\dot x^2 - m g_{\mathrm{grav}} x temos:
\frac{\partial L}{\partial \dot x} = m\dot x,
e a equação conservativa (lado esquerdo) é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right)-\frac{\partial L}{\partial x} = m\ddot x + m g_{\mathrm{grav}}.
Pelo resultado geral do passo anterior, com L' = g(t)L, obtemos
m\ddot x + m g_{\mathrm{grav}} = -\frac{\dot g}{g}\,m\dot x.
Rearranjando:
m\ddot x + m\frac{\dot g}{g}\dot x + m g_{\mathrm{grav}} = 0.
Queremos que esse termo m(\dot g/g)\dot x seja exatamente o termo de amortecimento b\dot x. Portanto exigimos
m\frac{\dot g}{g} = b.
Isso é uma equação diferencial simples para g(t):
\frac{\dot g}{g} = \frac{b}{m} \quad\Rightarrow\quad g(t) = A\,e^{(b/m)\,t}.
Como L' pode ser multiplicada por uma constante sem alterar as equações (constante global cancela na EL), escolhemos A=1. Logo:
g(t)=e^{(b/m)\,t}.

Passo 7

Aplicação ao caso do oscilador amortecido: encontrar g(t) que reproduz o termo -c\dot x.
Para L_{\text{osc, cons}}=\tfrac{1}{2}m\dot x^2 - \tfrac{1}{2}k x^2 temos novamente \partial L/\partial \dot x = m\dot x e a equação conservativa:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right)-\frac{\partial L}{\partial x} = m\ddot x + k x.
Pelo resultado geral com L' = g(t)L:
m\ddot x + k x = -\frac{\dot g}{g}\,m\dot x,
ou
m\ddot x + m\frac{\dot g}{g}\dot x + k x = 0.
Queremos que m(\dot g/g)\dot x seja c\dot x. Logo exigimos
m\frac{\dot g}{g} = c.
Resolvendo:
\frac{\dot g}{g} = \frac{c}{m} \quad\Rightarrow\quad g(t)=B\,e^{(c/m)\,t}.
Escolhemos a constante multiplicativa B=1, portanto
g(t)=e^{(c/m)\,t}.

Passo 8

Escrever as lagrangianas dissipativas finais L' = g(t)\,L para cada sistema.
Usando os g(t) encontrados e as lagrangianas conservativas do passo 4:
  • Queda livre com arrasto ( b coeficiente de arrasto):
L'_{\text{queda}} = e^{(b/m)\,t}\!\left(\tfrac{1}{2}m\dot x^2 - m g_{\mathrm{grav}} x\right).
  • Oscilador harmônico amortecido ( c coeficiente de amortecimento):
L'_{\text{osc}} = e^{(c/m)\,t}\!\left(\tfrac{1}{2}m\dot x^2 - \tfrac{1}{2}k x^2\right).
Comentário final e motivacional: a ideia é elegante — multiplicar a lagrangiana conservativa por um fator exponencial em tempo faz aparecer, via termo \dot g, um termo proporcional a \dot x na equação de movimento, reproduzindo o amortecimento linear. Pode parecer estranho ter uma lagrangiana que cresce exponencialmente, mas isso é uma construção matemática que faz com que a EL gere corretamente a dissipação linear.

Resposta

Queda livre com arrasto:
m\ddot x + b\dot x + m g_{\mathrm{grav}} = 0
L_{\text{queda, cons}} = \tfrac{1}{2}m\dot x^2 - m g_{\mathrm{grav}} x
g(t)=e^{(b/m)\,t}
L'_{\text{queda}} = e^{(b/m)\,t}\!\left(\tfrac{1}{2}m\dot x^2 - m g_{\mathrm{grav}} x\right)
Oscilador harmônico amortecido:
m\ddot x + c\dot x + k x = 0
L_{\text{osc, cons}} = \tfrac{1}{2}m\dot x^2 - \tfrac{1}{2}k x^2
g(t)=e^{(c/m)\,t}
L'_{\text{osc}} = e^{(c/m)\,t}\!\left(\tfrac{1}{2}m\dot x^2 - \tfrac{1}{2}k x^2\right)

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