Um longo cabo de energia situado na direção na direção leste-oeste que conduz uma corrente I desconhecida está a uma altura de 8 m acima do solo. Se a densidade de fluxo magnético indicada por um medidor de campo magnético colocado na superfície é de 12 \mu T quando a corrente percorre o cabo e de 20 \mu T quando a corrente é zero, qual é o módulo de I ?

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado:
  • Um cabo longo, orientado na direção leste-oeste, conduz uma corrente desconhecida I.
  • O cabo está a uma altura de 8\\ \mathrm{m} acima do solo.
  • Quando a corrente está ligada, o medidor na superfície indica a densidade de fluxo magnético 12\\ \mu\mathrm{T}.
  • Quando a corrente é desligada, o medidor indica 20\\ \mu\mathrm{T}.
    Pergunta do enunciado:
  • Qual é o módulo de I?

Passo 2

Fórmula que relaciona o campo magnético criado por um fio longo e retilíneo com a corrente que passa por ele:
B_{\text{fio}}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
Explicando cada termo:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
  • I é a corrente no fio (o que queremos).
  • r é a distância perpendicular do ponto ao fio (aqui r=8\\ \mathrm{m}).
    Esta fórmula vem da lei de Ampère para um fio longo e aproximadamente infinito; ela dá o módulo do campo magnético produzido pelo fio a uma distância r.

Passo 3

Interpretação das medições (vetorial):
  • Com a corrente desligada, a leitura 20\\ \mu\mathrm{T} é o campo de fundo no local; chamo-o de B_0=20\\ \mu\mathrm{T}.
  • Com a corrente ligada, o medidor registra o campo resultante da soma vetorial \mathbf{B}_\text{resultante}=\mathbf{B}_0+\mathbf{B}_{\text{fio}}, cujo módulo é 12\\ \mu\mathrm{T}.
    Observação importante: como B_0=20\\ \mu\mathrm{T} é maior que B_{\text{resultante}}=12\\ \mu\mathrm{T}, isso só é possível se o campo do fio estiver, no ponto de medição, com componente oposto ao campo de fundo (ou seja, “cancelando” parte de B_0). Para o cálculo do módulo do fio podemos então usar a relação escalar (eles são essencialmente anti-paralelos no ponto):
B_{\text{fio}} = B_0 - B_{\text{resultante}} = 20\\ \mu\mathrm{T} - 12\\ \mu\mathrm{T} = 8\\ \mu\mathrm{T}.
Convertendo para unidades SI: B_{\text{fio}}=8\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.

Passo 4

Isolando I na fórmula do fio:
B_{\text{fio}}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\quad\Longrightarrow\quad I=\frac{2\pi r\,B_{\text{fio}}}{\mu_0}.
Aqui estamos resolvendo algebricamente para I; a unidade resultante será ampère (A), desde que usemos unidades SI para r, B_{\text{fio}} e \mu_0.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
r=8\\ \mathrm{m},\qquad B_{\text{fio}}=8\times10^{-6}\\ \mathrm{T},\qquad \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
Então
I=\frac{2\pi\cdot 8\cdot(8\times10^{-6})}{4\pi\times10^{-7}}.
Simplificando passo a passo:
I=\frac{128\pi\times10^{-6}}{4\pi\times10^{-7}}.
Cortando \pi e tratando as potências de dez:
I=\frac{128}{4}\times10^{(-6)-(-7)}=32\times10^{1}=320.
Logo I=320\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Comentário final rápido (motivacional): conseguimos achar o módulo da corrente com poucas contas ao usar a fórmula do fio longo e a observação vetorial das leituras. Boa — você fez um bom caminho até aqui!

Resposta

320\\ \mathrm{A}

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