Considere os resultados obtidos em uma filtração apresentados abaixo. Foi filtrada uma suspensão aquosa de carbonato de cálcio ( 50 g de sólidos/L de \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} ) em um filtro prensa piloto operando com um único quadro ( 6 \times 6 \times 1 \frac{1}{4} \mathrm{in} ) a 40 psi e 20^{\circ} \mathrm{C}. Determinar a resistência do meio filtrante e a relação de volume de filtrado por volume de torta ( \mathrm{V} / \mathrm{vt} ) para o quadro cheio.
Sabe-se que: \rho_{\mathrm{s}}=2,7 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}
Área total de filtração =464,5 \mathrm{~cm}^{2}
Massa torta molhada/massa torta seca =1,6
V ( \mathrm{cm}^{3} ) t (seg)
700 18
1700 40,7
3700 108,2
4700 160
7700 320,5
9700 460,5
10700 549,5
11700 637,7
13700 832,7
14700 942,5
15700 1084
16700 1215
17700 1425
18700 1702
19700 2344
  1. É possível filtrar essa suspensão em outro(s) tipo(s) de filtro(s)? Se sim, quais as condições e os valores dos parâmetros envolvidos?

Passo 1

Vou primeiro organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede — assim a gente não se perde no meio do cálculo.
  • Dados numéricos (peguei diretamente do enunciado):
    • Concentração de sólidos na suspensão: 50\\ \mathrm{g/L}.
    • Densidade do sólido: \rho_{s}=2{,}7\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    • Área total de filtração: A=464{,}5\\ \mathrm{cm^{2}}.
    • Massa torta molhada / massa torta seca =1{,}6.
    • Pressão de filtração: \Delta P=40\\ \mathrm{psi} (vou converter quando precisar).
    • Temperatura 20^\circ\mathrm{C} (vou usar viscosidade da água a 20^\circ\mathrm{C}).
    • Tabela de volume filtrado V (em \mathrm{cm^{3}}) e tempo t (em s) — os pares estão no enunciado e vou usá‑los para linearizar a equação de filtração.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a resistência do meio filtrante (isto é, a resistência do tecido / tela R_m).
    2. Determinar a resistência específica do leito/torta (escrito aqui como “resistência do meio filtrante” e a definição típica é R_m — e também vamos obter a resistência específica da torta \alpha, porque é o que se calcula a partir dos dados).
    3. Determinar a relação V/v_t (volume de filtrado por volume de torta) para o quadro cheio.
    4. Pergunta 1) do enunciado: “É possível filtrar essa suspensão em outro(s) tipo(s) de filtro(s)? Se sim, quais as condições e valores dos parâmetros envolvidos?” — quero responder com alternativas práticas (filtro a vácuo, centrífuga, etc.) e comparar parâmetros (pressão, área, tempo aproximado).
Observação final do Passo 1: a resolução começa verdadeiramente no Passo 2, onde explico a teoria necessária e inicio os cálculos passo a passo.

Passo 2

Teoria básica usada — a fórmula que vamos linearizar e usar (explicadinha devagar, como pede):
  • Para filtração a pressão constante, a equação diferencial básica (Lei de Darcy para o fluxo através do meio filtrante) leva à relação integrada entre tempo t e volume filtrado V:
\frac{t}{V} = \frac{\mu\,\alpha\,C_s}{2\,\Delta P\,A}\;V \;+\; \frac{\mu\,R_m}{\Delta P},
onde:
  • \mu é a viscosidade do fluido (água) em unidades compatíveis,
  • \alpha é a resistência específica da torta (unidade típica: \mathrm{cm/g} no c.g.s. ou \mathrm{m/kg} no SI),
  • C_s é a concentração de sólidos no fluido, em massa de sólido por volume de filtrado (por ex. \mathrm{g/cm^3} ou \mathrm{kg/m^3}),
  • \Delta P é a pressão de filtração,
  • A é a área de filtração,
  • R_m é a resistência do meio filtrante (do tecido), unidade de comprimento^{-1} (ex.: \mathrm{cm^{-1}} no c.g.s.),
  • t tempo e V volume filtrado.
Comentário didático: essa fórmula tem forma de uma reta do tipo y = m x + b se definirmos y = t/V e x = V. O coeficiente angular m está relacionado a \alpha e a ordenada na origem b está relacionada a R_m. Logo, plotando t/V versus V (ou calculando numericamente) dá para obter m e b, e daí \alpha e R_m.

Passo 3

Preparando unidades e constantes numéricas que vamos usar (explicando conversões, porque isso costuma confundir):
  • Concentração: 50\\ \mathrm{g/L} = 50\\ \mathrm{g} / 1{,}000\\ \mathrm{cm^{3}} = 0{,}05\\ \mathrm{g/cm^{3}}. Vou trabalhar em c.g.s. (cm, g, s) porque os volumes da tabela já estão em \mathrm{cm^{3}}.
  • Área: A = 464{,}5\\ \mathrm{cm^{2}} (já em c.g.s.).
  • Viscosidade da água a 20^\circ\mathrm{C}: \mu \approx 1{,}002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Em c.g.s. (unidade poise = \mathrm{g/(cm\cdot s)}), \mu \approx 0{,}01002\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)} (pois 1\\ \mathrm{Pa\cdot s}=10\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}).
  • Pressão: 40\\ \mathrm{psi}. Em unidades c.g.s. (dyne/cm ^2) ou mais direto: 1\\ \mathrm{psi}=6894{,}76\\ \mathrm{Pa}. Então \Delta P = 40\times6894{,}76\\ \mathrm{Pa} = 275\,790{,}4\\ \mathrm{Pa}.Em c.g.s. (dyne/cm ^2) \Delta P = 275\,790{,}4\times10 = 2\,757\,904\\ \mathrm{dyne/cm^{2}}. Para nossos cálculos em c.g.s. usamos \Delta P = 2{,}757{,}904\\ \mathrm{(dyne/cm^{2})} e \mu = 0{,}01002\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}. (O importante: manter consistência de unidades.)
  • Concentração em c.g.s.: C_s = 0{,}05\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 4

Transformação dos dados e linearização prática:
  • Para cada par (V,\\ t) da tabela (onde V está em \mathrm{cm^{3}} e t em s) calcula-se \dfrac{t}{V} em \mathrm{s/cm^{3}}.
  • A teoria diz que \dfrac{t}{V} = m V + b, com m = \frac{\mu \alpha C_s}{2 \Delta P A},\qquad b = \frac{\mu R_m}{\Delta P}.
  • Em prova você normalmente traça t/V versus V e faz ajuste linear (regressão). Aqui, para simplificar e manter contas “na mão”, escolhi um trecho representativo da série de dados (parte intermediária, onde o comportamento é mais próximo do linear) para estimar a reta. Usei os pontos:
    • V_1=3700\\ \mathrm{cm^{3}},\\ t_1=108{,}2\\ \mathrm{s} \dfrac{t_1}{V_1}= \dfrac{108{,}2}{3700}=0{,}02924\\ \mathrm{s/cm^{3}}.
    • V_2=11700\\ \mathrm{cm^{3}},\\ t_2=637{,}7\\ \mathrm{s} \dfrac{t_2}{V_2}= \dfrac{637{,}7}{11700}=0{,}05454\\ \mathrm{s/cm^{3}}.
Observação didática: escolhi ponto intermedírio porque no início pode haver efeitos do meio filtrante (resistência do tecido domina) e no fim o leito pode ficar mais comprimido; a região intermediária costuma dar uma boa aproximação linear. Em prova, se der tempo, faça o ajuste por mínimos quadrados com todos os pontos — aqui estamos demonstrando o método e executando com dois pontos representativos para obter números com nível de aproximação razoável.

Passo 5

Cálculo do coeficiente angular m e intercepto b (passo a passo):
  • Slope (coef. angular):
m = \frac{(t_2/V_2)-(t_1/V_1)}{V_2-V_1} = \frac{0{,}05454-0{,}02924}{11700-3700} = \frac{0{,}02530}{8000}=3{,}1625\times10^{-6}\\ \mathrm{\frac{s}{cm^{6}}}.
  • Intercepto:
b = \frac{t_1}{V_1} - m V_1 = 0{,}02924 - (3{,}1625\times10^{-6})\times3700 =0{,}02924 - 0{,}011698 \approx 0{,}017542\\ \mathrm{s/cm^{3}}.
Explicação: m tem unidades \mathrm{s/cm^{6}} porque é a variação de (t/V) (s/cm^3) por variação de V (cm^3).

Passo 6

Agora isolamos \alpha e R_m a partir de m e b. Reescrevendo as fórmulas (em c.g.s.):
m = \frac{\mu\,\alpha\,C_s}{2\,\Delta P\,A} \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{2\,\Delta P\,A\,m}{\mu\,C_s}.
b = \frac{\mu\,R_m}{\Delta P} \quad\Rightarrow\quad R_m = \frac{b\,\Delta P}{\mu}.
Agora calculo numérico passo a passo (usando as unidades c.g.s. já listadas).

Passo 7

Cálculo numérico de \alpha:
  • Primeiro calcule 2\,\Delta P\,A\,m.
    Usei \Delta P = 2\,757\,904\\ \mathrm{(dyne/cm^{2})}, A = 464{,}5\\ \mathrm{cm^{2}}, m = 3{,}1625\times10^{-6}\\ \mathrm{s/cm^{6}}.
    2\,\Delta P\,A = 2\times2\,757\,904\times464{,}5 \approx 2\,562\,092\,816.
    Multiplicando por m:
    2\,\Delta P\,A\,m \approx 2\,562\,092\,816 \times 3{,}1625\times10^{-6} \approx 8{,}102{,}94\\ (\text{valor adimensional numérico}).é
  • Agora o denominador \mu\,C_s = 0{,}01002\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)} \times 0{,}05\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 0{,}000501.
  • Portanto
    \alpha = \frac{8{,}102{,}94}{0{,}000501} \approx 1{,}617\times10^{7}\\ \mathrm{cm/g}.
Interpretação: a resistência específica da torta ficou \alpha \approx 1{,}62\times10^{7}\\ \mathrm{cm/g}. (Unidade típica em c.g.s.: \mathrm{cm/g}.)

Passo 8

Cálculo numérico de R_m (resistência do meio filtrante):
  • Usando b = 0{,}017542\\ \mathrm{s/cm^{3}}, \Delta P = 2{,}757{,}904\\ \mathrm{dyne/cm^{2}} e \mu=0{,}01002\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)},
R_m = \frac{b\,\Delta P}{\mu} = \frac{0{,}017542\times2{,}757{,}904}{0{,}01002}.
  • Calculei numericamente: b\,\Delta P \approx 48{,}379{,}36,\qquad R_m \approx \frac{48{,}379{,}36}{0{,}01002} \approx 4{,}826{,}000\\ \mathrm{cm^{-1}}.
Arredondando: R_m \approx 4{,}83\times10^{6}\\ \mathrm{cm^{-1}}.
Comentário: valor bastante elevado — significa que, no início, a resistência do tecido tem contribuição importante. Em prova com todos os pontos e regressão, o número pode variar um pouco, mas a ordem de grandeza e o procedimento é o que importa.

Passo 9

Agora calculo do volume de torta v_t do quadro e da relação V/v_t para o quadro cheio (passo a passo e explicando cada termo):
  • Dimensões do quadro: 6\times6\times1{,}25\\ \mathrm{in}. Converto polegadas para centímetros: 1\\ \mathrm{in} = 2{,}54\\ \mathrm{cm}.
    • Espessura do quadro: 1{,}25\\ \mathrm{in}=1{,}25\times2{,}54=3{,}175\\ \mathrm{cm}.
    • Área de uma face: 6\times2{,}54 = 15{,}24\\ \mathrm{cm} → área da face =15{,}24^2=232{,}26\\ \mathrm{cm^{2}}.
    • O enunciado deu área total de filtração A=464{,}5\\ \mathrm{cm^{2}}, que corresponde a duas faces (duas superfícies), então volume total do(s) dois bolos (duas faces do quadro) é: v_t = A \times \text{espessura} = 464{,}5\\ \mathrm{cm^{2}}\times 3{,}175\\ \mathrm{cm} \approx 1{,}474\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • Relação entre massa seca da torta e volume da torta (usando a razão massa molhada / massa seca = 1,6):
    • Se a massa seca da torta for M_s (g), a massa molhada é 1{,}6\,M_s, então massa de água aprisionada na torta é 0{,}6\,M_s.
    • Volume ocupado pelos sólidos na torta: V_{s} = \dfrac{M_s}{\rho_s}.
    • Volume de água aprisionada: V_{w} = \dfrac{0{,}6\,M_s}{\rho_w}, com \rho_w\approx1\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    • Logo o volume total da torta v_t (o mesmo do quadro quando cheio) é: v_t = M_s\left(\frac{1}{\rho_s} + 0{,}6\right).
    • Mas M_s também é a massa de sólidos secos acumulada, que vem da concentração: M_s = C_s \, V (com C_s em \mathrm{g/cm^{3}} e V em \mathrm{cm^{3}}).
    • Quando o quadro estiver cheio, v_t (o que calculamos geometricamente =1{,}474\\ \mathrm{cm^{3}}) é igual a M_s\left(\dfrac{1}{\rho_s}+0{,}6\right) = C_s V_{\text{cheio}}\left(\dfrac{1}{\rho_s}+0{,}6\right).
    • Assim V_{\text{cheio}} = \frac{v_t}{C_s\left(\dfrac{1}{\rho_s}+0{,}6\right)}.

Passo 10

Cálculo numérico de V_{\text{cheio}} e da razão V/v_t:
  • Primeiro calcule o fator \left(\dfrac{1}{\rho_s}+0{,}6\right): \frac{1}{\rho_s} + 0{,}6 = \frac{1}{2{,}7} + 0{,}6 \approx 0{,}37037 + 0{,}6 = 0{,}97037\\ \mathrm{cm^{3}/g}.
  • Denominador C_s\left(\dfrac{1}{\rho_s}+0{,}6\right) = 0{,}05\times0{,}97037 \approx 0{,}0485185\\ \mathrm{(g/cm^{3})\cdot(cm^{3}/g)} = 0{,}0485185.
  • Então V_{\text{cheio}} = \frac{1{,}474}{0{,}0485185}\approx 30{,}376\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • Relação pedida (volume de filtrado por volume de torta) para quadro cheio: \frac{V_{\text{cheio}}}{v_t} = \frac{30{,}376}{1{,}474} \approx 20{,}61.
Interpretação: com essa concentração e umidade do bolo indicada, para encher o quadro (volume de torta 1{,}474\\ \mathrm{cm^{3}}) precisa filtrar cerca de 30{,}4\\ \mathrm{L} (30.376 cm^3 ≡ 30,376 mL ≈ 30,376 cm^3 → 30,376 mL = 30,376 cm^3 = 30.376 L). A razão V/v_t\approx 20{,}6 é adimensional e significa que cada volume de torta corresponde a cerca de 20,6 volumes de filtrado — isto é, a torta contém muita água relativa à massa seca.

Passo 11

Estimativa do tempo para encher o quadro (checagem prática usando a reta encontrada):
  • A relação t = m V^2 + b V (porque t/V = mV + b \Rightarrow t = m V^2 + bV).
  • Para V_{\text{cheio}} \approx 30{,}376\\ \mathrm{cm^{3}} usando m = 3{,}1625\times10^{-6} e b=0{,}017542:
    t_{\text{cheio}} \approx m V^2 + bV \approx 3{,}1625\times10^{-6}\times(30{,}376)^2 + 0{,}017542\times30{,}376.
    • Calculando: mV^2 \approx 2{,}918\\ \mathrm{s}\times10^{3} (≈2918 s) e bV\approx532\\ \mathrm{s}. Soma \approx 3{,}450\\ \mathrm{s} \approx 57{,}5\\ \mathrm{min}.
Conclusão prática: sob \Delta P=40\\ \mathrm{psi}, o enchimento do quadro ocorreria em cerca de 57–60 minutos (aproximação consistente com os dados experimentais e com o ajuste linear feito).

Passo 12

Resposta à pergunta prática 1) — outros tipos de filtro possíveis e parâmetros/condições (explicação e cálculo rápido comparativo):
  • Observação inicial: a equação mostra que o tempo de filtração, para um dado volume V, depende inversamente de \Delta P e diretamente de 1/A (porque m\propto 1/(\Delta P A) e b\propto 1/\Delta P). Assim, se você reduzir \Delta P (por ex. usar vácuo em vez de pressão positiva), precisará de mais área A ou aceitar tempos maiores.
Opções práticas:
  1. Filtro rotativo a vácuo (drum/rotary vacuum filter):
    • Tipicamente opera com \Delta P efetivo entre 0{,}6 e 0{,}9\\ \mathrm{atm} (~ 60 90\\ \mathrm{kPa}), bem menor que 40\\ \mathrm{psi} (≈276 kPa).
    • Se tomarmos \Delta P_{\text{vac}} \approx 80\\ \mathrm{kPa} (~0{,}8 atm) como exemplo, a razão de pressões é \dfrac{\Delta P_{\text{pressa}}}{\Delta P_{\text{vac}}} \approx \dfrac{275{,}79}{80}\approx 3{,}45.
    • Para manter o mesmo tempo de enchimento do quadro (≈57 min) com a menor \Delta P, a área necessária aumentaria na mesma razão: A_{\text{vac}} \approx A_{\text{pressa}}\times\frac{\Delta P_{\text{pressa}}}{\Delta P_{\text{vac}}} \approx 464{,}5\\ \mathrm{cm^{2}}\times3{,}45 \approx 1{,}600\\ \mathrm{cm^{2}}.Ou seja, um filtro rotativo a vácuo com área útil da ordem de 0{,}16\\ \mathrm{m^{2}} (=1600 cm^2) daria tempo de filtração semelhante; se a área for menor, o tempo aumenta proporcionalmente (~3,45× mais tempo para a mesma área de 464,5 cm^2).
    • Condições práticas: vácuo contínuo, remoção contínua da torta, bom para produção contínua. A umidade final do bolo e compressibilidade do material podem diferir; pode ser necessário ajustar velocidade de rotação e tempo de descarga.
  2. Filtro prensa (maior número de quadros / área maior):
    • Mantendo \Delta P=40\\ \mathrm{psi}, você pode simplesmente aumentar a área total (mais quadros) para reduzir o tempo por volume processado. Por exemplo, duplicar a área reduz o tempo praticamente pela metade (na aproximação linear).
  3. Filtro centrífugo (centrífuga/decantador centrífugo):
    • Centrífugas removem líquidos por forças centrífugas; são normalmente muito mais rápidas para separar partículas finas e dão tortas mais secas.
    • Parâmetros: força centrífuga tipicamente centenas a milhares de g; tempo de ciclo depende do equipamento. Não depende diretamente da equação de Darcy (fluxo por meio poroso), então pode ser vantajoso quando a torta é muito compressível ou quando se quer torta mais seca.
    • Observação prática: custo de capital e operação maiores, descontínuo (ou semi‑contínuo), e eficiência depende do tamanho de partícula e da diferença de densidade. Para carbonato de cálcio fino, centrífuga costuma ser eficaz.
  4. Filtro folhas/leaf filters (pressão positiva ou vácuo):
    • Semelhante ao prensa, mas com operação contínua ou semiautomática. As condições (ΔP, área por folha) seguem mesma lógica: menos ΔP → mais área ou tempo.
Resumo prático para a pergunta 1):
  • Sim, é possível filtrar essa suspensão em outros tipos de filtro. As alternativas mais práticas são:
    • filtro rotativo a vácuo (necessitará de ≈3,4× mais área para manter o mesmo tempo do prensa a 40 psi, se tomarmos ΔP_vac≈80 kPa),
    • centrífuga (reduz tempo e produz torta mais seca, mas exige equipamento distinto e dimensionamento por força g e tempo),
    • aumentar número de quadros no filtro‑prensa (mais área) ou mudar para filtros contínuos (leaf/rotary) conforme demanda.
  • Parâmetros que você teria que ajustar/fornecer: ΔP disponível, área de filtração A, tempo de ciclo desejado, condição de escoamento (compressibilidade da torta), e objetivos de secagem da torta.

Passo 13

Recapitulando os resultados numéricos principais (para conferir rápido na prova):
  • \alpha (resistência específica da torta): \displaystyle \alpha \approx 1{,}62\times10^{7}\\ \mathrm{cm/g}.
  • R_m (resistência do meio filtrante): \displaystyle R_m \approx 4{,}83\times10^{6}\\ \mathrm{cm^{-1}}.
  • Volume do quadro (torta cheia): \displaystyle v_t \approx 1{,}474\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • Volume filtrado para quadro cheio: \displaystyle V_{\text{cheio}} \approx 30{,}376\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • Relação V/v_t para quadro cheio: \displaystyle \frac{V}{v_t}\approx 20{,}61.
  • Tempo estimado para encher o quadro (com os coeficientes obtidos): \displaystyle t_{\text{cheio}}\approx 3{,}450\\ \mathrm{s}\approx57{,}5\\ \mathrm{min}.

Resposta

\alpha \approx 1{,}62\times 10^{7}\\ \mathrm{cm/g}
R_{m} \approx 4{,}83\times 10^{6}\\ \mathrm{cm^{-1}}
v_{t}\\ (\text{quadro cheio}) \approx 1{,}474\\ \mathrm{cm^{3}}
V_{\text{cheio}} \approx 30{,}376\\ \mathrm{cm^{3}}
\displaystyle \frac{V}{v_{t}}\\ (\text{quadro cheio}) \approx 20{,}61
  1. Sim. Exemplos: (a) filtro rotativo a vácuo (com \Delta P_{\text{vac}} típico ≈80 kPa) exigiria cerca de A_{\text{vac}}\approx1{,}600\\ \mathrm{cm^{2}} para manter o mesmo tempo de enchimento; se usar a mesma área de 464{,}5\\ \mathrm{cm^{2}} o tempo aumenta ≈3,45×. (b) centrífuga — reduz muito o tempo e produz torta mais seca (dimensionar por G‑force e tempo de ciclo específico). (c) ou aumentar o número/área de quadros no prensa (mesma \Delta P) para reduzir tempos.

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