Considere os resultados obtidos em uma filtração apresentados abaixo. Foi filtrada uma suspensão aquosa de carbonato de cálcio ( 50 g de sólidos/L de
) em um filtro prensa piloto operando com um único quadro (
) a 40 psi e
. Determinar a resistência do meio filtrante e a relação de volume de filtrado por volume de torta (
) para o quadro cheio.
Sabe-se que:
Área total de filtração
Massa torta molhada/massa torta seca
V (
)
t (seg)
700
18
1700
40,7
3700
108,2
4700
160
7700
320,5
9700
460,5
10700
549,5
11700
637,7
13700
832,7
14700
942,5
15700
1084
16700
1215
17700
1425
18700
1702
19700
2344
- É possível filtrar essa suspensão em outro(s) tipo(s) de filtro(s)? Se sim, quais as condições e os valores dos parâmetros envolvidos?
Sabe-se que:
Área total de filtração
Massa torta molhada/massa torta seca
| V (
|
t (seg) |
| 700 | 18 |
| 1700 | 40,7 |
| 3700 | 108,2 |
| 4700 | 160 |
| 7700 | 320,5 |
| 9700 | 460,5 |
| 10700 | 549,5 |
| 11700 | 637,7 |
| 13700 | 832,7 |
| 14700 | 942,5 |
| 15700 | 1084 |
| 16700 | 1215 |
| 17700 | 1425 |
| 18700 | 1702 |
| 19700 | 2344 |
Passo 1
Vou primeiro organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede — assim a gente não se perde no meio do cálculo.
-
Dados numéricos (peguei diretamente do enunciado):
- Concentração de sólidos na suspensão:
. - Densidade do sólido:
. - Área total de filtração:
. - Massa torta molhada / massa torta seca
. - Pressão de filtração:
(vou converter quando precisar). - Temperatura
(vou usar viscosidade da água a ). - Tabela de volume filtrado
(em ) e tempo (em s) — os pares estão no enunciado e vou usá‑los para linearizar a equação de filtração.
- Concentração de sólidos na suspensão:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a resistência do meio filtrante (isto é, a resistência do tecido / tela
). - Determinar a resistência específica do leito/torta (escrito aqui como “resistência do meio filtrante” e a definição típica é
— e também vamos obter a resistência específica da torta , porque é o que se calcula a partir dos dados). - Determinar a relação
(volume de filtrado por volume de torta) para o quadro cheio. - Pergunta 1) do enunciado: “É possível filtrar essa suspensão em outro(s) tipo(s) de filtro(s)? Se sim, quais as condições e valores dos parâmetros envolvidos?” — quero responder com alternativas práticas (filtro a vácuo, centrífuga, etc.) e comparar parâmetros (pressão, área, tempo aproximado).
- Determinar a resistência do meio filtrante (isto é, a resistência do tecido / tela
Observação final do Passo 1: a resolução começa verdadeiramente no Passo 2, onde explico a teoria necessária e inicio os cálculos passo a passo.
Passo 2
Teoria básica usada — a fórmula que vamos linearizar e usar (explicadinha devagar, como pede):
- Para filtração a pressão constante, a equação diferencial básica (Lei de Darcy para o fluxo através do meio filtrante) leva à relação integrada entre tempo
e volume filtrado :
onde:
-
é a viscosidade do fluido (água) em unidades compatíveis, -
é a resistência específica da torta (unidade típica: no c.g.s. ou no SI), -
é a concentração de sólidos no fluido, em massa de sólido por volume de filtrado (por ex. ou ), -
é a pressão de filtração, -
é a área de filtração, -
é a resistência do meio filtrante (do tecido), unidade de comprimento^{-1} (ex.: no c.g.s.), -
tempo e volume filtrado.
Comentário didático: essa fórmula tem forma de uma reta do tipo
se definirmos
e
. O coeficiente angular
está relacionado a
e a ordenada na origem
está relacionada a
. Logo, plotando
versus
(ou calculando numericamente) dá para obter
e
, e daí
e
.
Passo 3
Preparando unidades e constantes numéricas que vamos usar (explicando conversões, porque isso costuma confundir):
- Concentração:
. Vou trabalhar em c.g.s. (cm, g, s) porque os volumes da tabela já estão em . - Área:
(já em c.g.s.). - Viscosidade da água a
: . Em c.g.s. (unidade poise ), (pois ). - Pressão:
. Em unidades c.g.s. (dyne/cm ) ou mais direto: . Então Em c.g.s. (dyne/cm ) . Para nossos cálculos em c.g.s. usamos e . (O importante: manter consistência de unidades.) - Concentração em c.g.s.:
.
Passo 4
Transformação dos dados e linearização prática:
- Para cada par
da tabela (onde está em e em s) calcula-se em . - A teoria diz que
, com - Em prova você normalmente traça
versus e faz ajuste linear (regressão). Aqui, para simplificar e manter contas “na mão”, escolhi um trecho representativo da série de dados (parte intermediária, onde o comportamento é mais próximo do linear) para estimar a reta. Usei os pontos: -
→ . -
→ .
-
Observação didática: escolhi ponto intermedírio porque no início pode haver efeitos do meio filtrante (resistência do tecido domina) e no fim o leito pode ficar mais comprimido; a região intermediária costuma dar uma boa aproximação linear. Em prova, se der tempo, faça o ajuste por mínimos quadrados com todos os pontos — aqui estamos demonstrando o método e executando com dois pontos representativos para obter números com nível de aproximação razoável.
Passo 5
Cálculo do coeficiente angular
e intercepto
(passo a passo):
- Slope (coef. angular):
- Intercepto:
Explicação:
tem unidades
porque é a variação de
(s/cm^3) por variação de
(cm^3).
Passo 6
Agora isolamos
e
a partir de
e
. Reescrevendo as fórmulas (em c.g.s.):
Agora calculo numérico passo a passo (usando as unidades c.g.s. já listadas).
Passo 7
Cálculo numérico de
:
-
Primeiro calcule
. Usei, , . Multiplicando por: -
Agora o denominador
. -
Portanto
Interpretação: a resistência específica da torta ficou
. (Unidade típica em c.g.s.:
.)
Passo 8
Cálculo numérico de
(resistência do meio filtrante):
- Usando
, e ,
- Calculei numericamente:
Arredondando:
.
Comentário: valor bastante elevado — significa que, no início, a resistência do tecido tem contribuição importante. Em prova com todos os pontos e regressão, o número pode variar um pouco, mas a ordem de grandeza e o procedimento é o que importa.
Passo 9
Agora calculo do volume de torta
do quadro e da relação
para o quadro cheio (passo a passo e explicando cada termo):
-
Dimensões do quadro:
. Converto polegadas para centímetros: . - Espessura do quadro:
. - Área de uma face:
→ área da face . - O enunciado deu área total de filtração
, que corresponde a duas faces (duas superfícies), então volume total do(s) dois bolos (duas faces do quadro) é:
- Espessura do quadro:
-
Relação entre massa seca da torta e volume da torta (usando a razão massa molhada / massa seca = 1,6):
- Se a massa seca da torta for
(g), a massa molhada é , então massa de água aprisionada na torta é . - Volume ocupado pelos sólidos na torta:
. - Volume de água aprisionada:
, com . - Logo o volume total da torta
(o mesmo do quadro quando cheio) é: - Mas
também é a massa de sólidos secos acumulada, que vem da concentração: (com em e em ). - Quando o quadro estiver cheio,
(o que calculamos geometricamente ) é igual a . - Assim
- Se a massa seca da torta for
Passo 10
Cálculo numérico de
e da razão
:
- Primeiro calcule o fator
: - Denominador
. - Então
- Relação pedida (volume de filtrado por volume de torta) para quadro cheio:
Interpretação: com essa concentração e umidade do bolo indicada, para encher o quadro (volume de torta
) precisa filtrar cerca de
(30.376 cm^3 ≡ 30,376 mL ≈ 30,376 cm^3 → 30,376 mL = 30,376 cm^3 = 30.376 L). A razão
é adimensional e significa que cada volume de torta corresponde a cerca de 20,6 volumes de filtrado — isto é, a torta contém muita água relativa à massa seca.
Passo 11
Estimativa do tempo para encher o quadro (checagem prática usando a reta encontrada):
-
A relação
(porque ). -
Para
usando e : - Calculando:
(≈2918 s) e . Soma .
- Calculando:
Conclusão prática: sob
, o enchimento do quadro ocorreria em cerca de 57–60 minutos (aproximação consistente com os dados experimentais e com o ajuste linear feito).
Passo 12
Resposta à pergunta prática 1) — outros tipos de filtro possíveis e parâmetros/condições (explicação e cálculo rápido comparativo):
- Observação inicial: a equação mostra que o tempo de filtração, para um dado volume
, depende inversamente de e diretamente de (porque e ). Assim, se você reduzir (por ex. usar vácuo em vez de pressão positiva), precisará de mais área ou aceitar tempos maiores.
Opções práticas:
-
Filtro rotativo a vácuo (drum/rotary vacuum filter):
- Tipicamente opera com
efetivo entre e (~ – ), bem menor que (≈276 kPa). - Se tomarmos
(~0{,}8 atm) como exemplo, a razão de pressões é . - Para manter o mesmo tempo de enchimento do quadro (≈57 min) com a menor
, a área necessária aumentaria na mesma razão: Ou seja, um filtro rotativo a vácuo com área útil da ordem de (=1600 cm^2) daria tempo de filtração semelhante; se a área for menor, o tempo aumenta proporcionalmente (~3,45× mais tempo para a mesma área de 464,5 cm^2). - Condições práticas: vácuo contínuo, remoção contínua da torta, bom para produção contínua. A umidade final do bolo e compressibilidade do material podem diferir; pode ser necessário ajustar velocidade de rotação e tempo de descarga.
- Tipicamente opera com
-
Filtro prensa (maior número de quadros / área maior):
- Mantendo
, você pode simplesmente aumentar a área total (mais quadros) para reduzir o tempo por volume processado. Por exemplo, duplicar a área reduz o tempo praticamente pela metade (na aproximação linear).
- Mantendo
-
Filtro centrífugo (centrífuga/decantador centrífugo):
- Centrífugas removem líquidos por forças centrífugas; são normalmente muito mais rápidas para separar partículas finas e dão tortas mais secas.
- Parâmetros: força centrífuga tipicamente centenas a milhares de g; tempo de ciclo depende do equipamento. Não depende diretamente da equação de Darcy (fluxo por meio poroso), então pode ser vantajoso quando a torta é muito compressível ou quando se quer torta mais seca.
- Observação prática: custo de capital e operação maiores, descontínuo (ou semi‑contínuo), e eficiência depende do tamanho de partícula e da diferença de densidade. Para carbonato de cálcio fino, centrífuga costuma ser eficaz.
-
Filtro folhas/leaf filters (pressão positiva ou vácuo):
- Semelhante ao prensa, mas com operação contínua ou semiautomática. As condições (ΔP, área por folha) seguem mesma lógica: menos ΔP → mais área ou tempo.
Resumo prático para a pergunta 1):
- Sim, é possível filtrar essa suspensão em outros tipos de filtro. As alternativas mais práticas são:
- filtro rotativo a vácuo (necessitará de ≈3,4× mais área para manter o mesmo tempo do prensa a 40 psi, se tomarmos ΔP_vac≈80 kPa),
- centrífuga (reduz tempo e produz torta mais seca, mas exige equipamento distinto e dimensionamento por força g e tempo),
- aumentar número de quadros no filtro‑prensa (mais área) ou mudar para filtros contínuos (leaf/rotary) conforme demanda.
- Parâmetros que você teria que ajustar/fornecer: ΔP disponível, área de filtração
, tempo de ciclo desejado, condição de escoamento (compressibilidade da torta), e objetivos de secagem da torta.
Passo 13
Recapitulando os resultados numéricos principais (para conferir rápido na prova):
-
(resistência específica da torta): -
(resistência do meio filtrante): - Volume do quadro (torta cheia):
- Volume filtrado para quadro cheio:
- Relação
para quadro cheio: - Tempo estimado para encher o quadro (com os coeficientes obtidos):
Resposta
- Sim. Exemplos: (a) filtro rotativo a vácuo (com
típico ≈80 kPa) exigiria cerca de para manter o mesmo tempo de enchimento; se usar a mesma área de o tempo aumenta ≈3,45×. (b) centrífuga — reduz muito o tempo e produz torta mais seca (dimensionar por G‑force e tempo de ciclo específico). (c) ou aumentar o número/área de quadros no prensa (mesma ) para reduzir tempos.