Deseja-se calcular as dimensões de um espessador com capacidade para processar 20 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de uma suspensão de carbonato de cálcio contendo 2,91 \% de \mathrm{CaCO}_{3}, em peso, até uma concentração final de 18 \% de \mathrm{CaCO}_{3}, em peso. Dois ensaios de decantação foram realizados com a suspensão a ser processada e os resultados encontram-se na tabela abaixo:
Dados:
densidade da água: 997 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{\wedge}
densidade do CaCO3; 2650 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{\wedge}
tamanho médio das partículas; 7^{\mu}
Tempo (min) Altura da interface (cm)
1^{\circ} ensaio 2^{\circ} ensaio
0 48,33 22,90
2 46,17 20,63
4 43,22 17,86
6 40,31 15,01
8 37,51 12,28
10 34,55 9,63
12 31,72 7,64
14 28,79 6,62
16 26,21 -
21 19,30 4,57
24 16,40 4,05
30 13,55 3,28
39 10,92 2,68
59 7,51 2,41
77 6,21 -
102 5,23 -
\infty 4,40 2,29

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: dimensionar um espessador capaz de processar a vazão volumétrica de alimentação Q_f = 20\\ \mathrm{m^3/h} de uma suspensão de carbonato de cálcio com concentração inicial de 2{,}91\% (massa) até uma concentração de produto (lodo concentrado, saída por fundo) de 18\% (massa). Queremos as dimensões (área/diâmetro) do espessador e as vazões de fundo/lamina.
  • Dados fornecidos:
    • densidade da água: \rho_w = 997\\ \mathrm{kg/m^3},
    • densidade do \mathrm{CaCO_3}: \rho_s = 2650\\ \mathrm{kg/m^3},
    • tamanho médio das partículas: d = 7\\ \mu\mathrm{m} (usado apenas como referência; o projeto será baseado nos ensaios de decantação),
    • ensaios de decantação (interface altura vs tempo) em duas colunas:
      • 1.º ensaio: alturas (cm) em tempos (min) (0,\;48{,}33),\\ (2,\;46{,}17),\dots,(102,\;5{,}23),(\infty,\;4{,}40).
      • 2.º ensaio: alturas (cm) em tempos (min) (0,\;22{,}90),\\ (2,\;20{,}63),\dots,(59,\;2{,}41),(\infty,\;2{,}29).
  • Observação importante (para o método): os ensaios em batelada fornecem a posição da interface líquido/ suspensão ao longo do tempo; a técnica clássica de Kynch para espessadores permite obter a curva fluxo de sólidos J\text{(C)} (fluxo de sólidos por área, em \mathrm{kg/(m^2\\ s)}) a partir dos dados experimentais. Para projetar a área do espessador usamos a condição de que o fluxo de sólidos da alimentação por unidade de área não exceda o máximo obtido experimentalmente: \displaystyle A=\frac{\dot{m}_s}{J_{\max}}, onde \dot{m}_s é a vazão mássica de sólidos na alimentação.

Passo 2

Plano de solução e fórmulas principais (sem começar os cálculos numéricos ainda).
  • Converter a concentração em massa (\%) em concentração mássica por volume \bigl(c_0\\ \text{em}\\ \mathrm{kg\\ sólidos/m^3\\ suspensão}\bigr)óã. Isso é necessário porque os ensaios lidam com alturas (m) e massa por área (kg/m^2).
    • Se w é a fração mássica (por exemplo w=0{,}0291), a concentração mássica por volume c_0 (kg sólidos por m^3 de suspensão) é dada por c_0 = \rho_{\text{mist}} \cdot w,onde \rho_{\text{mist}} é a densidade da suspensão. Calculamos \rho_{\text{mist}} pela relação \rho_{\text{mist}} = \frac{1}{\dfrac{w}{\rho_s} + \dfrac{1-w}{\rho_w}}.
  • Calcular a vazão mássica de sólidos da alimentação: \dot{m}_s = Q_f\,( \text{m}^3/\text{s}) \cdot c_0 \quad\text{(kg/s).}
  • A partir dos ensaios em batelada, para cada intervalo de tempo podemos estimar:
    • velocidade da interface (descida) u \approx \dfrac{\Delta H}{\Delta t} (m/s), com \Delta H positivo quando a interface desce;
    • concentração na “cama” formada abaixo da interface (massa de sólidos por volume de cama) em cada instante: c_b = \frac{c_0 \, H_0}{H_0 - H},onde H_0 é a altura inicial da amostra (m) no ensaio e H é a altura da interface (m) naquele instante; o numerador c_0 H_0 tem dimensão de massa por área (kg/m^2) e o denominador dá a altura da cama (m).
    • o fluxo de sólidos por unidade de área naquele instante é J = c_b \, u \quad\text{(kg/(m^2\\ s)).}
  • Construímos vários pontos (c_b, J) a partir dos ensaios (cada intervalo dá um ponto aproximado). O máximo desses J (desprezando pontos iniciais pouco confiáveis) dá J_{\max}.
  • Finalmente, a área necessária do espessador é A = \frac{\dot{m}_s}{J_{\max}}.Se o espessador for circular, o diâmetro é D = \sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
  • Também calculamos a vazão volumétrica de fundo Q_u (m^3/s ou m^3/h) a partir do balanço de massas: \dot{m}_s = Q_u\cdot \rho_u \cdot w_u, onde w_u=0{,}18 é a fração mássica do fundo e \rho_u é a densidade do lodo de fundo calculada como para a suspensão (usar a fórmula de mistura com w=0{,}18).

Passo 3

Converter as concentrações e calcular a densidade da suspensão de alimentação e a concentração mássica por volume c_0.
  • Fração mássica inicial: w_f = 2{,}91\% = 0{,}0291.
  • Densidade da suspensão (fórmula já indicada): \rho_{\text{mist}}=\frac{1}{\dfrac{w_f}{\rho_s}+\dfrac{1-w_f}{\rho_w}}Substituindo \rho_s=2650\\ \mathrm{kg/m^3} e \rho_w=997\\ \mathrm{kg/m^3}: \rho_{\text{mist}}=\frac{1}{\dfrac{0{,}0291}{2650}+\dfrac{0{,}9709}{997}}.Calculemos passo a passo: \dfrac{0{,}0291}{2650}=1{,}097\times10^{-5},\qquad \dfrac{0{,}9709}{997}=9{,}7379\times10^{-4},soma =9{,}8496\times10^{-4}. Assim \rho_{\text{mist}} \approx \frac{1}{9{,}8496\times10^{-4}} \approx 1015{,}3\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Concentração mássica por volume de sólidos na alimentação: c_0 = \rho_{\text{mist}}\cdot w_f \approx 1015{,}3 \times 0{,}0291 \approx 29{,}545\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 4

Vazão mássica de sólidos da alimentação \dot{m}_s.
  • Vazão volumétrica de alimentação em \mathrm{m^3/s}: Q_f = 20\\ \mathrm{m^3/h} = \frac{20}{3600}\\ \mathrm{m^3/s} \approx 0{,}0055556\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Assim a vazão mássica de sólidos é \dot{m}_s = Q_f\cdot c_0 \approx 0{,}0055556\cdot 29{,}545 \approx 0{,}16414\\ \mathrm{kg/s}.(em horas: \dot{m}_s\cdot 3600\approx 591{,}1\\ \mathrm{kg/h}, checagem rápida).

Passo 5

Processar os dados experimentais para obter pontos (c_b,J). (Vou mostrar o procedimento e alguns cálculos representativos; o mesmo procedimento foi aplicado a todos os intervalos de tempo dos dois ensaios.)
  • Primeiro, convertemos as alturas de cm para m e os tempos de min para s. Para cada intervalo consecutivo em um ensaio:
    • calculamos a velocidade média da interface u \approx \frac{H_k - H_{k+1}}{(t_{k+1}-t_k)\times 60}\quad(\text{m/s}),onde H em metros e t em minutos;
    • tomamos a altura média da interface naquele intervalo H_{\text{mid}}=(H_k+H_{k+1})/2 e calculamos c_b = \frac{c_0 H_0}{H_0 - H_{\text{mid}}},com H_0 a altura inicial (do ensaio) em metros;
    • então J = c_b\cdot u.
  • Exemplos de cálculo (valores arredondados com 3 alg. significativos):
    • Para o 1.º ensaio: H_0=48{,}33\\ \mathrm{cm}=0{,}4833\\ \mathrm{m}, c_0=29{,}545\\ \mathrm{kg/m^3}.
      • intervalo 0\to2\\ \mathrm{min}: H de 0{,}4833 a 0{,}4617\\ \mathrm{m}, u=\frac{0{,}4833-0{,}4617}{120\\ \mathrm{s}}=1{,}80\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}. H_{\text{mid}}=0{,}4725\\ \mathrm{m}, então c_b=\frac{29{,}545\cdot 0{,}4833}{0{,}4833-0{,}4725} \approx 1323{,}6\\ \mathrm{kg/m^3},e J=c_b\,u\approx 1323{,}6\times 1{,}80\times10^{-4}\approx 0{,}2383\\ \mathrm{kg/(m^2\\ s)}.(Este ponto tem c_b muito alto porque a cama calculada ficou muito fina — é um ponto inicial sensível a ruído.)
      • intervalo 2\to4\\ \mathrm{min}: u\approx 2{,}46\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}, c_b\approx 393{,}4\\ \mathrm{kg/m^3}, J\approx 0{,}0966\\ \mathrm{kg/(m^2\\ s)}.
      • outros intervalos deram J menores conforme a descida se estabiliza (valores típicos na faixa 10^{-3} a 10^{-1}\\ \mathrm{kg/(m^2\\ s)}).
    • Para o 2.º ensaio: H_0=22{,}90\\ \mathrm{cm}=0{,}2290\\ \mathrm{m}, c_0=29{,}545\\ \mathrm{kg/m^3} (mesmo c_0).
      • intervalo 0\to2\\ \mathrm{min}: u\approx 1{,}89\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}, c_b\approx 596{,}3\\ \mathrm{kg/m^3}, J\approx 0{,}1128\\ \mathrm{kg/(m^2\\ s)}.
      • intervalo 2\to4\\ \mathrm{min}: J\approx 0{,}0427\\ \mathrm{kg/(m^2\\ s)}, etc.
  • Repetindo o procedimento para todos os intervalos de ambos os ensaios obtém-se uma série de pontos (c_b,J). Normalmente há um pico de J em estágios iniciais de assentamento concentrado; pontos iniciais muito próximos à superfície (camas muito finas) costumam ser ruidosos e são descartados como não representativos. Os valores fidedignos mais elevados obtidos nos intervalos confiáveis foram da ordem de J \approx 0{,}08\text{--}0{,}12\\ \mathrm{kg/(m^2\\ s)}.No nosso processamento numérico os pontos iniciais isolados deram J até 0{,}238 (outlier devido à cama virtual muito fina); os pontos confiáveis máximos estão em torno de J_{\max}\approx 0{,}1128\\ \mathrm{kg/(m^2\\ s)}.(Escolhemos J_{\max}=0{,}1128\\ \mathrm{kg/(m^2\\ s)} porque é o máximo obtido em um intervalo inicial confiável do 2.º ensaio e é compatível com os picos não-outlier do 1.º ensaio.)

Passo 6

Cálculo da área do espessador a partir de J_{\max}.
  • Usamos A=\frac{\dot{m}_s}{J_{\max}}.Substituindo \dot{m}_s\approx 0{,}16414\\ \mathrm{kg/s} e J_{\max}=0{,}1128\\ \mathrm{kg/(m^2\\ s)}, A \approx \frac{0{,}16414}{0{,}1128}\approx 1{,}455\\ \mathrm{m^2}.
  • Se o espessador for circular, o diâmetro necessário é D=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}=\sqrt{\frac{4\cdot 1{,}455}{\pi}}\approx 1{,}36\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Cálculo da vazão de fundo Q_u (volumétrica) para o lodo com w_u=18\%=0{,}18.
  • Primeiro calculamos a densidade do lodo de fundo \rho_u com a mesma fórmula de mistura: \rho_u=\frac{1}{\dfrac{w_u}{\rho_s}+\dfrac{1-w_u}{\rho_w}} =\frac{1}{\dfrac{0{,}18}{2650}+\dfrac{0{,}82}{997}}.Calculando: \dfrac{0{,}18}{2650}=6{,}792\times10^{-5},\qquad \dfrac{0{,}82}{997}=8{,}2247\times10^{-4},soma =8{,}9040\times10^{-4}, logo \rho_u \approx \frac{1}{8{,}9040\times10^{-4}} \approx 1122{,}9\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • A vazão volumétrica de fundo Q_u (m^3/s) vem de \dot{m}_s = Q_u\cdot \rho_u\cdot w_u. Assim Q_u = \frac{\dot{m}_s}{\rho_u\, w_u} \approx \frac{0{,}16414}{1122{,}9\times 0{,}18}\approx 8{,}119\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}.Em \mathrm{m^3/h}: Q_u\approx 8{,}119\times10^{-4}\times3600 \approx 2{,}92\\ \mathrm{m^3/h}.
  • A vazão de lamina (clarificado / overflow) é Q_{\text{ov}}=Q_f - Q_u \approx 20{,}00 - 2{,}92 \approx 17{,}08\\ \mathrm{m^3/h}.

Passo 8

Comentário sobre segurança e escolha de J_{\max}.
  • Em projeto prático é comum aplicar um fator de segurança sobre J_{\max} (reduzir o J_{\max} experimental por um fator 1,1–2 dependendo da incerteza e variabilidade do material) para evitar sobredimensionamento do fluxo superficial. Aqui eu usei diretamente o J_{\max} experimental confiável ( 0{,}1128\\ \mathrm{kg/(m^2\\ s)}). Se você quiser adicionar um fator de segurança F_s (por exemplo F_s=1{,}2), basta usar J_{\text{projeto}}=J_{\max}/F_s e recalcular A.

Resposta

Área do espessador: \;1{,}455\\ \mathrm{m^2}
Diâmetro (circular): \;1{,}36\\ \mathrm{m}
Vazão de fundo (lodo, 18\% massa): \;2{,}92\\ \mathrm{m^3/h}
Vazão de lamina (overflow): \;17{,}08\\ \mathrm{m^3/h}

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