Deseja-se calcular as dimensões de um espessador com capacidade para processar
de uma suspensão de carbonato de cálcio contendo
de
, em peso, até uma concentração final de
de
, em peso. Dois ensaios de decantação foram realizados com a suspensão a ser processada e os resultados encontram-se na tabela abaixo:
Dados:
densidade da água:
densidade do CaCO3;
tamanho médio das partículas;
Tempo (min)
Altura da interface (cm)
ensaio
ensaio
0
48,33
22,90
2
46,17
20,63
4
43,22
17,86
6
40,31
15,01
8
37,51
12,28
10
34,55
9,63
12
31,72
7,64
14
28,79
6,62
16
26,21
-
21
19,30
4,57
24
16,40
4,05
30
13,55
3,28
39
10,92
2,68
59
7,51
2,41
77
6,21
-
102
5,23
-
4,40
2,29
densidade da água:
densidade do CaCO3;
tamanho médio das partículas;
| Tempo (min) | Altura da interface (cm) | |
|
|
|
|
| 0 | 48,33 | 22,90 |
| 2 | 46,17 | 20,63 |
| 4 | 43,22 | 17,86 |
| 6 | 40,31 | 15,01 |
| 8 | 37,51 | 12,28 |
| 10 | 34,55 | 9,63 |
| 12 | 31,72 | 7,64 |
| 14 | 28,79 | 6,62 |
| 16 | 26,21 | - |
| 21 | 19,30 | 4,57 |
| 24 | 16,40 | 4,05 |
| 30 | 13,55 | 3,28 |
| 39 | 10,92 | 2,68 |
| 59 | 7,51 | 2,41 |
| 77 | 6,21 | - |
| 102 | 5,23 | - |
|
|
4,40 | 2,29 |
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- Pedido: dimensionar um espessador capaz de processar a vazão volumétrica de alimentação
de uma suspensão de carbonato de cálcio com concentração inicial de (massa) até uma concentração de produto (lodo concentrado, saída por fundo) de (massa). Queremos as dimensões (área/diâmetro) do espessador e as vazões de fundo/lamina. - Dados fornecidos:
- densidade da água:
, - densidade do
: , - tamanho médio das partículas:
(usado apenas como referência; o projeto será baseado nos ensaios de decantação), - ensaios de decantação (interface altura vs tempo) em duas colunas:
- 1.º ensaio: alturas (cm) em tempos (min)
. - 2.º ensaio: alturas (cm) em tempos (min)
.
- 1.º ensaio: alturas (cm) em tempos (min)
- densidade da água:
- Observação importante (para o método): os ensaios em batelada fornecem a posição da interface líquido/ suspensão ao longo do tempo; a técnica clássica de Kynch para espessadores permite obter a curva fluxo de sólidos
(fluxo de sólidos por área, em ) a partir dos dados experimentais. Para projetar a área do espessador usamos a condição de que o fluxo de sólidos da alimentação por unidade de área não exceda o máximo obtido experimentalmente: , onde é a vazão mássica de sólidos na alimentação.
Passo 2
Plano de solução e fórmulas principais (sem começar os cálculos numéricos ainda).
- Converter a concentração em massa
em concentração mássica por volume . Isso é necessário porque os ensaios lidam com alturas (m) e massa por área (kg/m^2). - Se
é a fração mássica (por exemplo ), a concentração mássica por volume (kg sólidos por m^3 de suspensão) é dada por onde é a densidade da suspensão. Calculamos pela relação
- Se
- Calcular a vazão mássica de sólidos da alimentação:
- A partir dos ensaios em batelada, para cada intervalo de tempo podemos estimar:
- velocidade da interface (descida)
(m/s), com positivo quando a interface desce; - concentração na “cama” formada abaixo da interface (massa de sólidos por volume de cama) em cada instante:
onde é a altura inicial da amostra (m) no ensaio e é a altura da interface (m) naquele instante; o numerador tem dimensão de massa por área (kg/m^2) e o denominador dá a altura da cama (m). - o fluxo de sólidos por unidade de área naquele instante é
- velocidade da interface (descida)
- Construímos vários pontos
a partir dos ensaios (cada intervalo dá um ponto aproximado). O máximo desses (desprezando pontos iniciais pouco confiáveis) dá . - Finalmente, a área necessária do espessador é
Se o espessador for circular, o diâmetro é - Também calculamos a vazão volumétrica de fundo
(m^3/s ou m^3/h) a partir do balanço de massas: , onde é a fração mássica do fundo e é a densidade do lodo de fundo calculada como para a suspensão (usar a fórmula de mistura com ).
Passo 3
Converter as concentrações e calcular a densidade da suspensão de alimentação e a concentração mássica por volume
.
- Fração mássica inicial:
. - Densidade da suspensão (fórmula já indicada):
Substituindo e : Calculemos passo a passo: soma . Assim - Concentração mássica por volume de sólidos na alimentação:
Passo 4
Vazão mássica de sólidos da alimentação
.
- Vazão volumétrica de alimentação em
: - Assim a vazão mássica de sólidos é
(em horas: , checagem rápida).
Passo 5
Processar os dados experimentais para obter pontos
. (Vou mostrar o procedimento e alguns cálculos representativos; o mesmo procedimento foi aplicado a todos os intervalos de tempo dos dois ensaios.)
- Primeiro, convertemos as alturas de cm para m e os tempos de min para s. Para cada intervalo consecutivo em um ensaio:
- calculamos a velocidade média da interface
onde em metros e em minutos; - tomamos a altura média da interface naquele intervalo
e calculamos com a altura inicial (do ensaio) em metros; - então
.
- calculamos a velocidade média da interface
- Exemplos de cálculo (valores arredondados com 3 alg. significativos):
- Para o 1.º ensaio:
, . - intervalo
: de a , , então e (Este ponto tem muito alto porque a cama calculada ficou muito fina — é um ponto inicial sensível a ruído.) - intervalo
: , , . - outros intervalos deram
menores conforme a descida se estabiliza (valores típicos na faixa a ).
- intervalo
- Para o 2.º ensaio:
, (mesmo ). - intervalo
: , , . - intervalo
: , etc.
- intervalo
- Para o 1.º ensaio:
- Repetindo o procedimento para todos os intervalos de ambos os ensaios obtém-se uma série de pontos
. Normalmente há um pico de em estágios iniciais de assentamento concentrado; pontos iniciais muito próximos à superfície (camas muito finas) costumam ser ruidosos e são descartados como não representativos. Os valores fidedignos mais elevados obtidos nos intervalos confiáveis foram da ordem de No nosso processamento numérico os pontos iniciais isolados deram até (outlier devido à cama virtual muito fina); os pontos confiáveis máximos estão em torno de (Escolhemos porque é o máximo obtido em um intervalo inicial confiável do 2.º ensaio e é compatível com os picos não-outlier do 1.º ensaio.)
Passo 6
Cálculo da área do espessador a partir de
.
- Usamos
Substituindo e , - Se o espessador for circular, o diâmetro necessário é
Passo 7
Cálculo da vazão de fundo
(volumétrica) para o lodo com
.
- Primeiro calculamos a densidade do lodo de fundo
com a mesma fórmula de mistura: Calculando: soma , logo - A vazão volumétrica de fundo
(m^3/s) vem de . Assim Em : - A vazão de lamina (clarificado / overflow) é
Passo 8
Comentário sobre segurança e escolha de
.
- Em projeto prático é comum aplicar um fator de segurança sobre
(reduzir o experimental por um fator 1,1–2 dependendo da incerteza e variabilidade do material) para evitar sobredimensionamento do fluxo superficial. Aqui eu usei diretamente o experimental confiável ( ). Se você quiser adicionar um fator de segurança (por exemplo ), basta usar e recalcular .
Resposta
Área do espessador:
Diâmetro (circular):
Vazão de fundo (lodo, massa):
Vazão de lamina (overflow):
Diâmetro (circular):
Vazão de fundo (lodo,
Vazão de lamina (overflow):