Considere uma hipérbole com centro na origem e eixo real sobre o eixo
. Sabe-se que a distância entre os vértices é 4 e que a distância focal é 6 .
Determine a equação reduzida da hipérbole.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A hipérbole tem centro na origem e eixo real sobre o eixo
. - A distância entre os vértices é
. (essa é a distância entre os dois vértices ao longo do eixo real) - A distância focal é
. (essa é a distância entre os dois focos)
O que o enunciado pede: determinar a equação reduzida da hipérbole (escolher a alternativa correta entre as dadas).
Passo 2
Interpretando as distâncias e traduzindo em notação usual de hipérbole:
- Para uma hipérbole com eixo real no eixo
, os vértices são . A distância entre vértices é . Como foi dada , segue:
- Os focos são
. A distância focal (entre os focos) é . Como foi dada , segue:
Passo 3
Relembrando a forma reduzida e a relação entre as constantes (aula mastigada):
- A forma reduzida (canônica) de uma hipérbole com eixo transverso ao longo de
é
Aqui:
-
é o semi-eixo real (distância do centro a cada vértice), -
é o parâmetro ligado à abertura vertical da hipérbole, -
é a distância do centro a cada foco. - Para hipérboles vale a relação entre esses parâmetros:
Esta relação é análoga à de um triângulo retângulo no qual
é a hipotenusa formada por
e
(uma forma útil de memorizar: para elipses é
, para hipérboles o sinal é
).
Passo 4
Usando a relação
para encontrar
:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 5
Agora temos
e
. Substituindo na forma canônica
obtém-se a equação reduzida:
Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (a).
Resposta
(a)