Considere uma hipérbole com centro na origem e eixo real sobre o eixo \mathfrak{x}. Sabe-se que a distância entre os vértices é 4 e que a distância focal é 6 .
Determine a equação reduzida da hipérbole.
◯ a. \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1
◯ b. \frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{5}=1
◯ c. \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1
◯ d. \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{5}=1
◯ e. \frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A hipérbole tem centro na origem e eixo real sobre o eixo \mathfrak{x}.
  • A distância entre os vértices é 4. (essa é a distância entre os dois vértices ao longo do eixo real)
  • A distância focal é 6. (essa é a distância entre os dois focos)
    O que o enunciado pede: determinar a equação reduzida da hipérbole (escolher a alternativa correta entre as dadas).

Passo 2

Interpretando as distâncias e traduzindo em notação usual de hipérbole:
  • Para uma hipérbole com eixo real no eixo x, os vértices são (\pm a,0). A distância entre vértices é 2a. Como foi dada 2a=4, segue:
a=2.
  • Os focos são (\pm c,0). A distância focal (entre os focos) é 2c. Como foi dada 2c=6, segue:
c=3.

Passo 3

Relembrando a forma reduzida e a relação entre as constantes (aula mastigada):
  • A forma reduzida (canônica) de uma hipérbole com eixo transverso ao longo de x é
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Aqui:
  • \,a é o semi-eixo real (distância do centro a cada vértice),
  • \,b é o parâmetro ligado à abertura vertical da hipérbole,
  • \,c é a distância do centro a cada foco.
  • Para hipérboles vale a relação entre esses parâmetros:
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Esta relação é análoga à de um triângulo retângulo no qual c é a hipotenusa formada por a e b (uma forma útil de memorizar: para elipses é c^{2}=a^{2}-b^{2}, para hipérboles o sinal é +).

Passo 4

Usando a relação \,c^{2}=a^{2}+b^{2} para encontrar b^{2}:
b^{2}=c^{2}-a^{2}.
Substituindo os valores encontrados:
b^{2}=3^{2}-2^{2}=9-4=5.

Passo 5

Agora temos a^{2}=4 e b^{2}=5. Substituindo na forma canônica \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 obtém-se a equação reduzida:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1.
Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1

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