Questão 5
Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
□ Marcar questão
Considere uma elipse com centro na origem e eixo maior sobre o eixo
.
Sabe-se que o comprimento do eixo maior é 8 e que um dos focos é
.
Determine a equação reduzida da elipse.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Vale 1,00 ponto(s).
□ Marcar questão
Sabe-se que o comprimento do eixo maior é 8 e que um dos focos é
Determine a equação reduzida da elipse.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
- A elipse tem centro na origem e eixo maior sobre o eixo
. - O comprimento do eixo maior é
. - Um dos focos é
.
O que se pede: determinar a equação reduzida da elipse (forma canônica).
Passo 2
Calcular semieixo maior
.
O comprimento do eixo maior é . Como
, temos
O comprimento do eixo maior é
Explicação rápida:
é a metade do eixo maior (distância do centro até o vértice na direção do eixo maior).
Passo 3
Apresentar a forma padrão e as relações entre parâmetros.
Para uma elipse centrada na origem com eixo maior no eixo , a equação reduzida é
Para uma elipse centrada na origem com eixo maior no eixo
onde:
-
é o semieixo maior (distância do centro ao vértice em ), -
é o semieixo menor (distância do centro ao vértice em ), - os focos estão em
com .
A relação entrepara elipse com eixo maior em é
Explicação da relação: ela vem da definição geométrica da elipse (soma das distâncias aos dois focos é constante igual a
) e da álgebra que resulta dessa propriedade.
Passo 4
Identificar
a partir do foco e calcular
.
Do foco obtemos
. Já temos
. Usando a relação
Do foco
isolamos
:
Verificação rápida:
, logo é uma elipse válida.
Passo 5
Montar a equação reduzida substituindo
e
.
Substituindo e
na forma padrão,
Substituindo
Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (d).
Resposta
d.