Questão 5

Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
□ Marcar questão
Considere uma elipse com centro na origem e eixo maior sobre o eixo \mathfrak{X}.
Sabe-se que o comprimento do eixo maior é 8 e que um dos focos é
F=(3,0).
Determine a equação reduzida da elipse.
◯ a. \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1
◯ b. \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{7}=1
◯ c. \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{7}=1
◯ d. \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1
◯ e. \frac{x^{2}}{7}+\frac{y^{2}}{16}=1

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • A elipse tem centro na origem e eixo maior sobre o eixo \mathfrak{X}.
  • O comprimento do eixo maior é 8.
  • Um dos focos é F=(3,0).
    O que se pede: determinar a equação reduzida da elipse (forma canônica).

Passo 2

Calcular semieixo maior \,a.
O comprimento do eixo maior é 2a. Como 2a=8, temos
a=4.
Explicação rápida: \,a é a metade do eixo maior (distância do centro até o vértice na direção do eixo maior).

Passo 3

Apresentar a forma padrão e as relações entre parâmetros.
Para uma elipse centrada na origem com eixo maior no eixo x, a equação reduzida é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde:
  • \,a>0 é o semieixo maior (distância do centro ao vértice em x),
  • \,b>0 é o semieixo menor (distância do centro ao vértice em y),
  • os focos estão em (\pm c,0) com \,c>0.
    A relação entre a,b,c para elipse com eixo maior em x é
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Explicação da relação: ela vem da definição geométrica da elipse (soma das distâncias aos dois focos é constante igual a 2a) e da álgebra que resulta dessa propriedade.

Passo 4

Identificar \,c a partir do foco e calcular b^{2}.
Do foco F=(3,0) obtemos c=3. Já temos a=4. Usando a relação
c^{2}=a^{2}-b^{2},
isolamos b^{2}:
b^{2}=a^{2}-c^{2}=4^{2}-3^{2}=16-9=7.
Verificação rápida: b^{2}>0, logo é uma elipse válida.

Passo 5

Montar a equação reduzida substituindo a^{2} e b^{2}.
Substituindo a^{2}=16 e b^{2}=7 na forma padrão,
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1.
Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

d. \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1

Exercícios relacionados