Questão 9

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questão
Considere uma esfera com centro no ponto C=(0,0,1) e raio 2 .
Determine a equação reduzida da esfera.
◯ a. x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=2
◯ b. x^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=4
◯ c. x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
◯ d. x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=4
◯ e. (x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}=4

Passo 1

O enunciado nos dá explicitamente duas informações importantes:
  • Centro da esfera: C=(0,0,1).
  • Raio da esfera: 2.
O que é pedido: determinar a equação reduzida (equação padrão) da esfera e escolher a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

Vamos lembrar a definição geométrica e a fórmula que usamos para escrever a equação de uma esfera no espaço: a esfera com centro (x_0,y_0,z_0) e raio r é o conjunto de todos os pontos P=(x,y,z) cuja distância até o centro é igual a r.
A distância entre P=(x,y,z) e C=(x_0,y_0,z_0) é dada pela fórmula da distância euclidiana em 3D:
\text{dist}(P,C)=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}.
Impondo \text{dist}(P,C)=r e elevando ao quadrado para eliminar a raiz, obtemos a equação padrão (equação reduzida) da esfera:
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = r^2.
Explicando cada símbolo:
  • x,y,z são as coordenadas de um ponto genérico na esfera;
  • x_0,y_0,z_0 são as coordenadas do centro;
  • r é o raio;
    o lado esquerdo é a soma dos quadrados das diferenças das coordenadas (distância ao quadrado) e o lado direito é o raio ao quadrado.

Passo 3

Agora substituímos os dados do enunciado na fórmula geral. Aqui x_0=0, y_0=0, z_0=1 e r=2. Substituindo:
(x-0)^2+(y-0)^2+(z-1)^2 = 2^2.

Passo 4

Simplificando os termos com zeros:
x^2+y^2+(z-1)^2 = 4.
Isto é a equação reduzida da esfera com centro C=(0,0,1) e raio 2.

Passo 5

Vamos conferir rapidamente as alternativas:
  • (a) x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=2 tem o lado direito igual a 2 (raio \sqrt{2}), incorreta.
  • (b) x^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=4 corresponde a centro (0,0,-1), incorreta.
  • (c) x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 corresponde a centro (0,0,0), incorreta.
  • (d) x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=4 coincide exatamente com o que obtivemos.
  • (e) (x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}=4 corresponde a centro (1,0,0), incorreta.
Portanto a alternativa correta é a (d).

Resposta

d. x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=4

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