Questão 9
Ainda não respondida
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questão
Considere uma esfera com centro no ponto
e raio 2 .
Determine a equação reduzida da esfera.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Determine a equação reduzida da esfera.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado nos dá explicitamente duas informações importantes:
- Centro da esfera:
. - Raio da esfera:
.
O que é pedido: determinar a equação reduzida (equação padrão) da esfera e escolher a alternativa correta entre as opções dadas.
Passo 2
Vamos lembrar a definição geométrica e a fórmula que usamos para escrever a equação de uma esfera no espaço: a esfera com centro
e raio
é o conjunto de todos os pontos
cuja distância até o centro é igual a
.
A distância entre
e
é dada pela fórmula da distância euclidiana em 3D:
Impondo
e elevando ao quadrado para eliminar a raiz, obtemos a equação padrão (equação reduzida) da esfera:
Explicando cada símbolo:
-
são as coordenadas de um ponto genérico na esfera; -
são as coordenadas do centro; -
é o raio;
o lado esquerdo é a soma dos quadrados das diferenças das coordenadas (distância ao quadrado) e o lado direito é o raio ao quadrado.
Passo 3
Agora substituímos os dados do enunciado na fórmula geral. Aqui
,
,
e
. Substituindo:
Passo 4
Simplificando os termos com zeros:
Isto é a equação reduzida da esfera com centro
e raio
.
Passo 5
Vamos conferir rapidamente as alternativas:
- (a)
tem o lado direito igual a (raio ), incorreta. - (b)
corresponde a centro , incorreta. - (c)
corresponde a centro , incorreta. - (d)
coincide exatamente com o que obtivemos. - (e)
corresponde a centro , incorreta.
Portanto a alternativa correta é a (d).
Resposta
d.