Considere o hiperbolóide
Se
é a equação do plano tangente ao hiperbolóide no ponto
, a soma
é igual a
Passo 1
O enunciado dá o hiperbolóide
e afirma que a equação do plano tangente nesse hiperbolóide, no ponto
, é
A pergunta é: qual é o valor de
?\n
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A superfície é dada implicitamente por
. - Ponto de tangência:
. - Plano tangente procurado tem forma
.
Passo 2
Conceito importante: para uma superfície definida implicitamente por
, o vetor gradiente
é normal à superfície em cada ponto. O plano tangente em um ponto
da superfície é dado pela equação
isto é, pelo produto escalar do gradiente no ponto com o vetor posição relativo ao ponto sendo zero. Aqui o produto escalar entre vetores
e
é
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
:
Logo o gradiente é
Passo 4
Avalie o gradiente no ponto
:
Calcule cada componente:
Portanto
Passo 5
Use a fórmula do plano tangente:
Escrevendo o produto escalar:
Passo 6
Expandindo os parênteses:
Calcule
:
Substituindo:
Some os termos constantes:
Logo a equação é
Passo 7
Podemos simplificar dividindo a equação por
(fator comum):
Assim o plano tangente escrito no formato pedido
fica
Logo
e
.
Passo 8
Finalmente calcule
:
Resposta
627