Considere o hiperbolóide
3 x^{2}-y^{2}-2 z^{2}=585
Se a x+y-2 z=b é a equação do plano tangente ao hiperbolóide no ponto (14,-1,1), a soma a+b é igual a
\square

Passo 1

O enunciado dá o hiperbolóide
3x^{2}-y^{2}-2z^{2}=585
e afirma que a equação do plano tangente nesse hiperbolóide, no ponto (14,-1,1), é
a x + y - 2 z = b.
A pergunta é: qual é o valor de a+b?\n
Informações relevantes:
  • A superfície é dada implicitamente por F(x,y,z)=3x^{2}-y^{2}-2z^{2}-585=0.
  • Ponto de tangência: (14,-1,1).
  • Plano tangente procurado tem forma a x + y - 2 z = b.

Passo 2

Conceito importante: para uma superfície definida implicitamente por F(x,y,z)=0, o vetor gradiente
\displaystyle \nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)
é normal à superfície em cada ponto. O plano tangente em um ponto (x_0,y_0,z_0) da superfície é dado pela equação
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0,
isto é, pelo produto escalar do gradiente no ponto com o vetor posição relativo ao ponto sendo zero. Aqui o produto escalar entre vetores (u_1,u_2,u_3) e (v_1,v_2,v_3) é
u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de F(x,y,z)=3x^{2}-y^{2}-2z^{2}-585:
\frac{\partial F}{\partial x}=6x,
\frac{\partial F}{\partial y}=-2y,
\frac{\partial F}{\partial z}=-4z.
Logo o gradiente é
\nabla F(x,y,z)=(6x,\,-2y,\,-4z).

Passo 4

Avalie o gradiente no ponto (14,-1,1):
\nabla F(14,-1,1)=(6\cdot 14,\,-2\cdot(-1),\,-4\cdot 1).
Calcule cada componente:
6\cdot 14 = 84,\quad -2\cdot(-1)=2,\quad -4\cdot 1=-4.
Portanto
\nabla F(14,-1,1)=(84,\,2,\,-4).

Passo 5

Use a fórmula do plano tangente:
(84,2,-4)\cdot(x-14,y+1,z-1)=0.
Escrevendo o produto escalar:
84(x-14)+2(y+1)-4(z-1)=0.

Passo 6

Expandindo os parênteses:
84x-84\cdot 14 + 2y + 2 -4z +4 = 0.
Calcule 84\cdot 14:
84\cdot 14 = 84\cdot(10+4)=840+336=1176.
Substituindo:
84x -1176 + 2y + 2 -4z +4 = 0.
Some os termos constantes:
-1176 + 2 + 4 = -1170.
Logo a equação é
84x + 2y -4z -1170 = 0.

Passo 7

Podemos simplificar dividindo a equação por 2 (fator comum):
\frac{84x + 2y -4z -1170}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 42x + y -2z -585 = 0.
Assim o plano tangente escrito no formato pedido a x + y - 2 z = b fica
42x + y -2z = 585.
Logo a=42 e b=585.

Passo 8

Finalmente calcule a+b:
a+b = 42 + 585 = 627.

Resposta

627

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