O maior valor de m para o qual o tetraedro de vértices A=(\mathbf{0}, \mathbf{0}, \mathbf{2}), B=(\mathbf{1}, \mathbf{0}, \mathbf{0}), C=(\mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{0}), D=(\mathbf{2}, \mathbf{2}, \mathbf{m}) tem volume 34 é
\square

Passo 1

O enunciado pede: “O maior valor de m para o qual o tetraedro de vértices A=(\mathbf{0},\mathbf{0},\mathbf{2}), B=(\mathbf{1},\mathbf{0},\mathbf{0}), C=(\mathbf{0},\mathbf{1},\mathbf{0}), D=(\mathbf{2},\mathbf{2},\mathbf{m}) tem volume 34 é \square.”
Informações dadas (resumindo):
  • Coordenadas dos vértices: A=(0,0,2),\quad B=(1,0,0),\quad C=(0,1,0),\quad D=(2,2,m).
  • Volume exigido: V=34.
  • Pedido: encontrar o maior m que satisfaz essa condição.

Passo 2

Vamos usar a fórmula que relaciona o volume de um tetraedro com o determinante (produto misto) formado por três vetores que saem de um mesmo vértice.
Conceito e fórmula (explicação didática):
  • Se de um vértice de um tetraedro tomamos os três vetores que vão para os outros três vértices, esses vetores geram um paralelepípedo. O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto misto (ou o valor absoluto do determinante da matriz cujas colunas são esses vetores).
  • O paralelepípedo pode ser dividido em 6 tetraedros congruentes (pensa no paralelepípedo dividido pelas suas quatro diagonais internas), portanto cada tetraedro tem volume igual a um sexto do volume do paralelepípedo.
  • Assim, se u,v,w são os três vetores a partir do mesmo vértice, a fórmula do volume do tetraedro é V=\frac{1}{6}\big|\det([u\; v\; w])\big|.
Aqui \det([u\; v\; w]) significa o determinante da matriz 3\times3 cujas colunas (ou linhas) são os vetores u,v,w.

Passo 3

Escolhemos o vértice A como vértice de referência e construímos os vetores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}.
Cálculo dos vetores (fazendo subtração coordenada a coordenada):
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-0,\;0-0,\;0-2)=(1,0,-2),
\overrightarrow{AC}=C-A=(0-0,\;1-0,\;0-2)=(0,1,-2),
\overrightarrow{AD}=D-A=(2-0,\;2-0,\;m-2)=(2,2,m-2).

Passo 4

Agora montamos a matriz cujas colunas são \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}:
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] -2 & -2 & m-2 \end{pmatrix}.
Vamos calcular o determinante de M por expansão na primeira linha (outra forma também funciona):
Expansão pela primeira linha:
\det(M)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[3pt]-2 & m-2\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) +2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]-2 & -2\end{pmatrix}.
Calculando os menores:
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[3pt]-2 & m-2\end{pmatrix}=1\cdot(m-2)-2\cdot(-2)=m-2+4=m+2,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]-2 & -2\end{pmatrix}=0\cdot(-2)-1\cdot(-2)=2.
Substituindo:
\det(M)=1\cdot(m+2)+2\cdot 2 = m+2+4 = m+6.
Portanto o produto misto (determinante) é \det(M)=m+6.]

Passo 5

Aplicamos a fórmula do volume:
V=\frac{1}{6}\big|\det(M)\big|=\frac{1}{6}\big|m+6\big|.
Como queremos V=34, temos
\frac{1}{6}\big|m+6\big|=34.
Multiplicando ambos os lados por 6:
\big|m+6\big|=204.
Isto gera duas equações lineares:
m+6=204 \quad\text{ou}\quad m+6=-204.
Resolvendo:
m=204-6=198,
m=-204-6=-210.

Passo 6

Ambas as soluções m=198 e m=-210 produzem volume 34, mas a questão pede o maior valor de m. Entre 198 e -210, o maior é 198.

Resposta

198

Exercícios relacionados