O maior valor de m para o qual o tetraedro de vértices A=(\mathbf{0}, \mathbf{0}, \mathbf{2}), B=(\mathbf{1}, \mathbf{0}, \mathbf{0}), C=(\mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{0}), D=(\mathbf{2}, \mathbf{2}, \mathbf{m}) tem volume 34 é \square
Passo 1
O enunciado pede: “O maior valor de m para o qual o tetraedro de vértices A=(\mathbf{0},\mathbf{0},\mathbf{2}), B=(\mathbf{1},\mathbf{0},\mathbf{0}), C=(\mathbf{0},\mathbf{1},\mathbf{0}), D=(\mathbf{2},\mathbf{2},\mathbf{m}) tem volume 34 é \square.”
Informações dadas (resumindo):
Coordenadas dos vértices:A=(0,0,2),\quad B=(1,0,0),\quad C=(0,1,0),\quad D=(2,2,m).
Volume exigido: V=34.
Pedido: encontrar o maior m que satisfaz essa condição.
Passo 2
Vamos usar a fórmula que relaciona o volume de um tetraedro com o determinante (produto misto) formado por três vetores que saem de um mesmo vértice.
Conceito e fórmula (explicação didática):
Se de um vértice de um tetraedro tomamos os três vetores que vão para os outros três vértices, esses vetores geram um paralelepípedo. O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto misto (ou o valor absoluto do determinante da matriz cujas colunas são esses vetores).
O paralelepípedo pode ser dividido em 6 tetraedros congruentes (pensa no paralelepípedo dividido pelas suas quatro diagonais internas), portanto cada tetraedro tem volume igual a um sexto do volume do paralelepípedo.
Assim, se u,v,w são os três vetores a partir do mesmo vértice, a fórmula do volume do tetraedro éV=\frac{1}{6}\big|\det([u\; v\; w])\big|.
Aqui \det([u\; v\; w]) significa o determinante da matriz 3\times3 cujas colunas (ou linhas) são os vetores u,v,w.
Passo 3
Escolhemos o vértice A como vértice de referência e construímos os vetores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}.
Cálculo dos vetores (fazendo subtração coordenada a coordenada):