Considere o polinômio
F(x, y, z)=x^{309} y^{137} z^{7864}+3891 x^{232} y^{133} z^{7945}-666 x^{225} y^{707} z^{7378}
A expressão
\frac{x \cdot \partial_{x} F(x, y, z)+y \cdot \partial_{y} F(x, y, z)+z \cdot \partial_{z} F(x, y, z)}{F(x, y, z)}
é um número inteiro. Qual?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
F(x,y,z)=x^{309}y^{137}z^{7864}+3891\,x^{232}y^{133}z^{7945}-666\,x^{225}y^{707}z^{7378}
e pede o valor do quociente
\frac{x\cdot \partial_{x}F(x,y,z)+y\cdot \partial_{y}F(x,y,z)+z\cdot \partial_{z}F(x,y,z)}{F(x,y,z)}.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
  • Primeiro monômio: expoentes (309,137,7864).
  • Segundo monômio: expoentes (232,133,7945) e coeficiente 3891.
  • Terceiro monômio: expoentes (225,707,7378) e coeficiente -666.
  • Vamos precisar das somas dos expoentes de cada monômio (grau total de cada monômio), pois isso costuma aparecer ao multiplicar por x\partial_x, y\partial_y, z\partial_z.

Passo 2

Vamos rever uma regra básica e muito útil: a regra do poder para derivadas e o efeito de multiplicar pela variável. Para uma monômio genérico com coeficiente c,
M(x,y,z)=c\,x^{a}y^{b}z^{c_3},
onde eu escrevo os expoentes como a,b,c_3 para não confundir com o coeficiente c. Aplicando derivada parcial e depois multiplicando pela variável, temos:
  • \partial_{x}M = c\cdot a \, x^{a-1}y^{b}z^{c_3}. Multiplicando por x
x\cdot\partial_x M = c\cdot a \, x^{a}y^{b}z^{c_3}.
  • De modo análogo,
y\cdot\partial_y M = c\cdot b \, x^{a}y^{b}z^{c_3},\qquad z\cdot\partial_z M = c\cdot c_3 \, x^{a}y^{b}z^{c_3}.
Somando as três parcelas obtemos
x\partial_x M + y\partial_y M + z\partial_z M = c\,(a+b+c_3)\,x^{a}y^{b}z^{c_3}.
Ou seja, para um monômio o operador x\partial_x+y\partial_y+z\partial_z multiplica o monômio pelo seu grau total a+b+c_3. Isso é uma forma prática do que fica conhecido como a identidade de Euler para funções homogêneas, aplicada monômio a monômio.

Passo 3

Agora aplicamos isso aos monômios do polinômio F. Primeiro calculemos os graus totais (somas dos expoentes) de cada monômio:
  • Para o primeiro monômio x^{309}y^{137}z^{7864}:
309+137+7864=446+7864=8310.
  • Para o segundo monômio x^{232}y^{133}z^{7945}:
232+133+7945=365+7945=8310.
  • Para o terceiro monômio x^{225}y^{707}z^{7378}:
225+707+7378=932+7378=8310.
Ou seja, todos os três monômios têm o mesmo grau total 8310. Isso significa que F é homogêneo de grau 8310: cada termo é de grau 8310.
Pelo resultado do Passo 2, aplicando o operador ao polinômio F (que é soma de monômios), ele atua termwise e cada termo é multiplicado por seu grau total. Como todos têm grau 8310, obtemos a igualdade (mostrando o passo algébrico):
x\partial_x F + y\partial_y F + z\partial_z F = 8310\cdot F.
Isso porque cada monômio nasceu multiplicado por 8310 e somando-se os termos com seus coeficientes retorna 8310 vezes a soma original F.

Passo 4

O quociente pedido é precisamente
\frac{x\partial_x F + y\partial_y F + z\partial_z F}{F}=\frac{8310\cdot F}{F}=8310.
(Sei que parece mágica, mas é só a identidade de Euler para funções homogêneas — todos os termos tinham o mesmo grau, então o operador retorna esse grau como fator.)

Resposta

8310

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