Considere o polinômio
A expressão
é um número inteiro. Qual?
A expressão
é um número inteiro. Qual?
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede o valor do quociente
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
- Primeiro monômio: expoentes
. - Segundo monômio: expoentes
e coeficiente . - Terceiro monômio: expoentes
e coeficiente . - Vamos precisar das somas dos expoentes de cada monômio (grau total de cada monômio), pois isso costuma aparecer ao multiplicar por
, , .
Passo 2
Vamos rever uma regra básica e muito útil: a regra do poder para derivadas e o efeito de multiplicar pela variável. Para uma monômio genérico com coeficiente
,
onde eu escrevo os expoentes como
para não confundir com o coeficiente
. Aplicando derivada parcial e depois multiplicando pela variável, temos:
-
. Multiplicando por dá
- De modo análogo,
Somando as três parcelas obtemos
Ou seja, para um monômio o operador
multiplica o monômio pelo seu grau total
. Isso é uma forma prática do que fica conhecido como a identidade de Euler para funções homogêneas, aplicada monômio a monômio.
Passo 3
Agora aplicamos isso aos monômios do polinômio
. Primeiro calculemos os graus totais (somas dos expoentes) de cada monômio:
- Para o primeiro monômio
:
- Para o segundo monômio
:
- Para o terceiro monômio
:
Ou seja, todos os três monômios têm o mesmo grau total
. Isso significa que
é homogêneo de grau
: cada termo é de grau
.
Pelo resultado do Passo 2, aplicando o operador ao polinômio
(que é soma de monômios), ele atua termwise e cada termo é multiplicado por seu grau total. Como todos têm grau
, obtemos a igualdade (mostrando o passo algébrico):
Isso porque cada monômio nasceu multiplicado por
e somando-se os termos com seus coeficientes retorna
vezes a soma original
.
Passo 4
O quociente pedido é precisamente
(Sei que parece mágica, mas é só a identidade de Euler para funções homogêneas — todos os termos tinham o mesmo grau, então o operador retorna esse grau como fator.)