Considere: i) Germânio, ii) Germânio dopado com arsênio, iii) Germânio dopado com boro, e iv) silício dopado com germânio.
a) Indique quais são semicondutores intrínseco e extrínseco. Explicar;
b) Utilize a teoria de bandas para explicar a condutividade nesses materiais;
c) Qual o efeito de temperatura na condutividade elétrica desses sistemas?
Passo 1
O enunciado pede para classificar quatro materiais em semicondutores intrínsecos ou extrínsecos (item a), usar a teoria de bandas para explicar como cada um conduz (item b) e discutir como a temperatura afeta a condutividade (item c). Vamos precisar dos conceitos de banda de valência, banda de condução, lacuna de energia E_g, níveis doadores e aceitadores, densidade de portadores e sua dependência exponencial em T.
Passo 2
Para responder a) observamos a presença ou não de dopantes eletricamente ativos:
i) Germânio puro não tem átomos doadores nem aceitadores, logo é semicondutor intrínseco.
ii) Germânio com arsênio: o arsênio (grupo V) tem cinco elétrons de valência contra quatro do germânio, sobra um elétron que fica livre para a banda de condução. É semicondutor extrínseco do tipo n.
iii) Germânio com boro: o boro (grupo III) tem três elétrons de valência, faltando-lhe um para completar a rede, o que cria lacunas. É semicondutor extrínseco do tipo p.
iv) Silício dopado com germânio: silício e germânio são ambos do grupo IV, têm o mesmo número de elétrons de valência. A adição de Ge ao Si forma uma liga (SiGe) isovalente que não introduz portadores extras, portanto permanece intrínseco.
Passo 3
Para b) a teoria de bandas diz que em um cristal perfeito há uma banda de valência totalmente ocupada e uma banda de condução vazia, separadas por E_g.
No intrínseco, os portadores provêm de excitações térmicas que promovem elétrons da valência para a condução. A densidade intrínseca de elétrons (e de lacunas) satisfaz
onde \mu_n e \mu_p são as mobilidades de elétrons e lacunas e \overline{\mu}=(\mu_n+\mu_p)/2.
No extrínseco n-type (Ge+As), o dopante cria um nível doador logo abaixo da banda de condução. A energia de ionização E_d doador satisfaz E_d\ll E_g, de modo que a maioria dos elétrons doadores se tornará portador de condução até temperaturas moderadas. Então
n\approx N_D,\quad p\approx \tfrac{n_i^2}{N_D},
e
\sigma_n \approx q\,N_D\,\mu_n.
No extrínseco p-type (Ge+B), há um nível aceitador logo acima da banda de valência. As lacunas geradas conduzem com densidade aproximada p\approx N_A e
\sigma_p \approx q\,N_A\,\mu_p.
Em SiGe isovalente, não há níveis de dopante, a condução segue como no caso intrínseco, só que com lacuna de energia efetiva E_g(\text{Si}_{1-x}\text{Ge}_x) entre a de Si e de Ge.
Passo 4
Para c) a temperatura atua em três regimes em extrínsecos e num único regime em intrínsecos:
Em baixas temperaturas (regime de “freeze-out”), kT é menor que a energia de ionização do dopante e nem todos os níveis doadores ou aceitadores se ionizam, daí \sigma é muito baixa.
Em temperaturas intermediárias (regime extrínseco pleno), todos os dopantes estão ionizados e \sigma fica aproximadamente constante, dominada por N_D\mu_n ou N_A\mu_p.
Em altas temperaturas (regime intrínseco), as excitações de elétrons da valência para a condução superam em número os portadores do dopante e a densidade segue \propto \exp(-E_g/(2kT)), fazendo \sigma crescer exponencialmente.
No caso estritamente intrínseco (i e iv), só ocorre o último regime:
\sigma(T)\sim \exp\bigl(-\tfrac{E_g}{2kT}\bigr),
mostrando que a condutividade aumenta fortemente com a temperatura apesar da mobilidade cair um pouco por espalhamento em rede.
Resposta
a) Intrínsecos: i) germânio puro e iv) silício dopado com germânio (isovalente). Extrínsecos: ii) germânio dopado com arsênio (n-type) e iii) germânio dopado com boro (p-type).
b) No intrínseco, portadores vêm de excitações térmicas da valência para a condução; em n-type há nível doador próximo à banda de condução que libera elétrons; em p-type há nível aceitador próximo à valência que cria lacunas; em SiGe isovalente segue como intrínseco, só muda E_g.
c) Aumentando T, intrínsecos têm \sigma\propto\exp(-E_g/2kT) e extrínsecos passam por freeze-out (baixa \sigma), depois regime extrínseco pleno (constante) e por fim regime intrínseco (crescimento exponencial de \sigma).