Defina cada uma das operações elementares que deverão ser aplicadas em B para retornar à matriz A do exercício 2.

Passo 1

O enunciado pede: “Defina cada uma das operações elementares que deverão ser aplicadas em B para retornar à matriz A do exercício 2.”
Informações fornecidas pelo enunciado (a partir do que foi escrito aqui):
  • Há duas matrizes, A e B.
  • A tarefa é listar as operações elementares que, aplicadas em B, transformam-na em A.
Informações que faltam (necessárias para encontrar a sequência concreta de operações):
  • As entradas (valores) de \,A e \,B não foram fornecidas.
  • Não há indicação se se deve usar operações sobre linhas ou sobre colunas (embora o uso padrão seja sobre linhas), nem se é permitido escalar por zero ou outras restrições.

Passo 2

Posso e devo ser direto: sem conhecer as matrizes \,A e \,B concretas não há como dar a sequência específica de operações elementares que transformam \,B em \,A. Isso é porque cada operação altera entradas concretas; a sequência depende exatamente dos valores de \,B e do alvo \,A. Portanto não é possível fornecer a lista pedida para o exercício 2 sem as matrizes. Entretanto, para te ajudar na prova eu vou: (a) definir rigorosamente o que são operações elementares; (b) explicar como decidir e registrar a sequência certa quando tu tiver A e B; (c) mostrar um exemplo completo e comentado, passo a passo, para que tu aprenda a fazer na hora da prova. Vamos nessa — isso vai te deixar capaz de transformar qualquer B em qualquer A (quando possível) no tempo da prova.

Passo 3

Definição das operações elementares (sobre linhas) — as três operações básicas, como usar a notação e o efeito delas:
  1. Troca de duas linhas.
    • Notação: R_i \leftrightarrow R_j.
    • O que faz: troca completamente a linha i pela linha j.
    • Quando usar: quando precisa colocar um pivô (um número não nulo que vai iniciar um processo de eliminação) numa linha específica porque a linha atual tem um zero nessa coluna.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar não nulo.
    • Notação: R_i \leftarrow k\,R_i, com k\neq 0.
    • O que faz: multiplica cada entrada da linha i pelo número k.
    • Quando usar: para normalizar um pivô (por exemplo deixar o pivô igual a 1) ou para ajustar sinais/valores antes de eliminar em outras linhas.
  3. Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    • Notação: R_i \leftarrow R_i + k\,R_j (onde i\neq j).
    • O que faz: substitui a linha i pela soma da linha i com k vezes a linha j.
    • Quando usar: para zerar elementos abaixo ou acima do pivô (fazer eliminação Gaussiana/Gauss–Jordan).
Observações importantes e convenções:
  • Essas três operações são invertíveis (ou seja, cada uma tem operação inversa que também é do mesmo tipo), por isso transformações feitas com elas preservam a “classe” de equivalência por linhas.
  • Normalmente, em provas, quando pedem “operações elementares” referem-se a operações sobre linhas (row operations). Se o enunciado pedir explicitamente sobre colunas, usar-se-iam operações análogas mas aplicadas às colunas; as ideias e notações são iguais trocando “linha” por “coluna”.

Passo 4

Como encontrar na prática, passo a passo, as operações que transformam uma matriz B em outra matriz A (procedimento operacional para a prova). Vou assumir operação por linhas — é o mais comum.
Passo-a-passo geral (guia que tu deves executar na prova):
  1. Verifica compatibilidade de dimensões.
    • Se A e B não têm a mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas), não dá para transformar B em A apenas por operações elementares de linhas (essas operações não mudam o número de linhas/colunas). Pare e informa isso.
  2. Se A=B já, então a sequência é “nenhuma operação” (escreve isso). Caso contrário prossegue.
  3. Objetivo prático: transformar B em A entrada a entrada, coluna por coluna, usando operações elementares. Trabalha coluna por coluna da esquerda para a direita: para cada coluna j:
    • Identifica qual valor a coluna j de A exige em cada linha.
    • Faz operações nas linhas de B para obter esses valores. Normalmente usa-se a estratégia de pivôs:
      a) Se precisa colocar um certo valor não nulo numa posição (r,j) e a linha r tem zero nessa coluna, procura uma linha abaixo com valor não nulo nessa coluna e faz R_r \leftrightarrow R_s.
      b) Se precisa de um valor específico (por exemplo 1) em (r,j), escala a linha: R_r \leftarrow k R_r com k apropriado.
      c) Para ajustar entradas em outras linhas na mesma coluna, usa R_i \leftarrow R_i + k R_r para zerar ou ajustar valores.
    • Importante: sempre que fizer uma operação em uma linha, ela altera todas as colunas dessa linha — portanto tens que cuidar para não estragar colunas já ajustadas. Por isso às vezes é preciso planejar a ordem (pode ser necessário voltar e consertar uma coluna já tratada).
  4. Registro das operações: escreve cada operação exatamente com a notação R_i \leftrightarrow R_j, R_i \leftarrow k R_i ou R_i \leftarrow R_i + k R_j. Essa lista é a resposta pedida no enunciado. Na prova o avaliador quer ver a sequência exata e verificável.
  5. Verificação final: ao terminar a sequência, multiplica mentalmente (ou aplica) as operações em B e confere que resulta em A. Se não deu, volta algumas operações e corrige — registra a nova sequência.
Dica rápida para ganhar tempo: se B for invertível e tu souber trabalhar com matrizes elementares, podes usar a fórmula
E\,B = A \quad\text{ou}\quad E = A B^{-1},
onde E é produto de matrizes elementares (cada matriz elementar corresponde a uma operação de linha). Em seguida, fatorar E em matrizes elementares dá a sequência. Esse método exige calcular B^{-1}, o que pode ser trabalhoso sem calculadora; por isso, na prova, normalmente é mais rápido trabalhar diretamente com operações de linha em B até obter A.

Passo 5

Exemplo concreto e didático (para tu praticar): transformar
B=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}
na matriz identidade
I=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Anota as operações e o efeito — isto é exatamente o tipo de raciocínio que vais repetir para transformar B em A.
  1. Objetivo: zerar a posição (2,1) que é 3. Usamos R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1.
    • Operação: R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1.
    • Matriz resultante:
    \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}.
  2. Queremos pivô igual a 1 na linha 2 (coluna 2). Escalamos R_2: R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{2} R_2.
    • Operação: R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{2}R_2.
    • Matriz resultante:
    \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  3. Agora zeramos o elemento acima do pivô (posição (1,2)): R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
    • Operação: R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
    • Matriz final:
    \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = I.
Sequência completa (em ordem):
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1; R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{2}R_2; R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
Comentários sobre o exemplo:
  • Cada operação foi escolhida para criar pivôs e zerar entradas, exatamente como farás para transformar B em A.
  • Em provas, tu deves escrever a sequência e, se for pedido, mostrar as matrizes intermediárias (como fiz acima) para justificar que cada operação foi aplicada corretamente.]

Passo 6

Checklist rápido para a prova (resumo prático, passo a passo ao resolver o exercício 2 quando tiveres A e B):
  • Confirma dimensão de A e B.
  • Decide se serão operações de linha (mais comum) ou de coluna (se enunciado pedir).
  • Trabalha coluna a coluna e linha a linha, escolhendo pivôs, fazendo trocas, escalamentos e somas adequadas.
  • Registra cada operação com a notação padrão.
  • Verifica o resultado final e entrega a sequência.
  • Se der tempo, escreve também a matriz elementar correspondente a cada operação (opcional).

Resposta

Não é possível determinar as operações elementares sem conhecer explicitamente as matrizes A e B do exercício 2.

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