e pede a matriz elementar que resulta da operação de linha
L_{1}\rightarrow(2)\cdot L_{1}.
Ou seja: multiplicar a primeira linha da matriz identidade por 2. O objetivo é determinar a matriz elementar correspondente (vou chamar de E_{1}).]
Passo 2
Conceito importante (explicado passo a passo): uma matriz elementar é uma matriz que, quando multiplicada à esquerda por qualquer matriz A (compatível), executa em A a operação elementar de linhas correspondente.
Regra prática para construí-la: aplicar a mesma operação de linhas à matriz identidade. O resultado é exatamente a matriz elementar. Isso acontece porque multiplicar pela esquerda combina as linhas da matriz multiplicanda da mesma forma que foram combinadas ao aplicar a operação na identidade.
Exemplo conceitual simples: se uma matriz elementar E foi obtida multiplicando a linha i de I_{n} por k, então para qualquer matriz A de tamanho compatível a primeira linha de EA será a primeira linha de A multiplicada por k, e as demais linhas de A ficam iguais. Por isso construímos E aplicando a operação em I_n.
Passo 3
Aplicando a operação L_{1}\rightarrow(2)\cdot L_{1} diretamente em I_{3}:
A primeira linha de I_{3} é (1,0,0). Multiplicando por 2 dá (2,0,0).
As linhas 2 e 3 permanecem (0,1,0) e (0,0,1), respectivamente.
Assim, a matriz obtida (a matriz elementar E_{1}) tem essas linhas.
Passo 4
Verificação rápida (para você ter segurança na prova): tome uma matriz arbitrária
ou seja, a primeira linha de A foi multiplicada por 2 e as demais ficaram iguais — exatamente a operação desejada. Isso confirma que construir E_{1} aplicando a operação em I_{3} é o procedimento correto.]