Considere I_{3}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]. Determine as matrizes E_{1}, E_{2}, E_{3} que resultam das seguintes operações em I_{3} :
L_{1} \rightarrow(2) \cdot L_{1} \leadsto E_{s}

Passo 1

O enunciado dá a matriz identidade I_{3}:
I_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},
e pede a matriz elementar que resulta da operação de linha
L_{1}\rightarrow(2)\cdot L_{1}.
Ou seja: multiplicar a primeira linha da matriz identidade por 2. O objetivo é determinar a matriz elementar correspondente (vou chamar de E_{1}).]

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): uma matriz elementar é uma matriz que, quando multiplicada à esquerda por qualquer matriz A (compatível), executa em A a operação elementar de linhas correspondente.
Regra prática para construí-la: aplicar a mesma operação de linhas à matriz identidade. O resultado é exatamente a matriz elementar. Isso acontece porque multiplicar pela esquerda combina as linhas da matriz multiplicanda da mesma forma que foram combinadas ao aplicar a operação na identidade.
Exemplo conceitual simples: se uma matriz elementar E foi obtida multiplicando a linha i de I_{n} por k, então para qualquer matriz A de tamanho compatível a primeira linha de EA será a primeira linha de A multiplicada por k, e as demais linhas de A ficam iguais. Por isso construímos E aplicando a operação em I_n.

Passo 3

Aplicando a operação L_{1}\rightarrow(2)\cdot L_{1} diretamente em I_{3}:
  • A primeira linha de I_{3} é (1,0,0). Multiplicando por 2 (2,0,0).
  • As linhas 2 e 3 permanecem (0,1,0) e (0,0,1), respectivamente.
Assim, a matriz obtida (a matriz elementar E_{1}) tem essas linhas.

Passo 4

Verificação rápida (para você ter segurança na prova): tome uma matriz arbitrária
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.
Se E_{1} é a matriz que dobró a primeira linha, então
E_{1}A=\begin{pmatrix} 2a_{11} & 2a_{12} & 2a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
ou seja, a primeira linha de A foi multiplicada por 2 e as demais ficaram iguais — exatamente a operação desejada. Isso confirma que construir E_{1} aplicando a operação em I_{3} é o procedimento correto.]

Resposta

E_{1}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}]

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