Considere a igualdade
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{7}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{x^{2 m}+y^{2 n}}=1
onde m, n são números inteiros positivos. Então é correto afirmar que:
Escolha uma ou mais:
] a. \(m-n=-4\) \[] b. Não existem \(m\) e \(n\) tais que esta igualdade occore \[] c. \(m+n=7\) \[] d. \(m+n=10\) \[] e. \(m-n=0\) \[] f. \(m+n=8\) \[] g. \(m-n=1\) \[] h. \(m+n=6\) \[] i. \(m-n=-1\)

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{7}+(\operatorname{sen}y)^{6}}{x^{2m}+y^{2n}}=1
onde m e n são números inteiros positivos, e pede que a gente escolha quais afirmações entre as opções são corretas. Informações relevantes dadas:
  • A função no numerador é x^{7}+(\operatorname{sen}y)^{6}.
  • A função no denominador é x^{2m}+y^{2n}.
  • A igualdade deve valer quando (x,y) tende a (0,0) por qualquer caminho (limite de duas variáveis).
  • m e n são inteiros positivos (ou seja, m,n\in\mathbb{Z}_{>0}).

Passo 2

Primeiro vamos entender o comportamento de (\operatorname{sen}y)^{6} quando y\to0. Aula rápida: para y pequeno, a expansão de Taylor de \sin y é
\sin y = y - \frac{y^{3}}{6} + o(y^{3}),
onde o(y^{3}) significa termos que tendem a zero mais rápido que y^{3}. Elevando à sexta potência, o termo dominante é
(\sin y)^{6} \sim y^{6},
isto é, (\sin y)^{6}=y^{6}+o(y^{6}). Em linguagem prática: para fins de comparação de ordens, (\operatorname{sen}y)^{6} comporta-se como y^{6} quando y\to0.

Passo 3

Para a existência da igualdade do limite igual a 1 é necessário que, ao tomar caminhos simples de aproximação (por exemplo os eixos), o limite também valha 1. Vamos testar o caminho x=0 (aproximar pela reta vertical):
  • Se x=0 então a expressão vira
\frac{(\operatorname{sen}y)^{6}}{0 + y^{2n}}=\frac{(\operatorname{sen}y)^{6}}{y^{2n}}.
Usando o comportamento (\operatorname{sen}y)^{6}\sim y^{6}, obtemos
\lim_{y\to0}\frac{(\operatorname{sen}y)^{6}}{y^{2n}}=\lim_{y\to0}\frac{y^{6}+o(y^{6})}{y^{2n}}.
Para que esse limite seja 1 (e não 0 nem \infty), é necessário que as potências coincidam e os coeficientes dominantes coincidam. Como o coeficiente dominante de (\sin y)^{6} é 1, precisamos de
2n=6,
que dá
n=3.
Portanto qualquer candidato válido deve ter n=3.

Passo 4

Agora testamos o caminho y=0 (aproximar pelo eixo x):
  • Se y=0 a expressão vira
\frac{x^{7}+0}{x^{2m}+0}=\frac{x^{7}}{x^{2m}}=x^{7-2m}.
Para que o limite quando x\to0 seja 1, precisamos que o expoente de x seja zero, isto é
7-2m=0.
Isto implica
2m=7\quad\Rightarrow\quad m=\frac{7}{2}=3{,}5.
Mas isto não é um número inteiro. Lembre-se que o enunciado exige m inteiro positivo. Logo não existe m\in\mathbb{Z}_{>0} que satisfaz 2m=7.

Passo 5

Vamos discutir todas as possibilidades restantes para m inteiramente, só para ficar claro:
  • Se 2m<7 (isto é, m\le3), então 7-2m>0 e x^{7-2m}\to0 quando x\to0. Assim o limite ao longo do eixo y=0 seria 0, não 1.
  • Se 2m>7 (isto é, m\ge4), então 7-2m<0 e x^{7-2m}\to\infty quando x\to0. Assim o limite ao longo do eixo y=0 seria \infty, também não 1.
  • 2m=7 daria limite 1 ao longo deste caminho, mas isto exige m=3{,}5, que não é inteiro.
Portanto, não existe m\in\mathbb{Z}_{>0} que faça o limite valer 1 quando se aproxima pelo eixo y=0.

Passo 6

Conclusão: já que o limite deve valer 1 para todo caminho de aproximação, e o caminho y=0 (eixo x) é um caminho legítimo, a condição não pode ser satisfeita por nenhum par (m,n) com m,n inteiros positivos. Mesmo encontrando n=3 do caminho x=0, não existe m inteiro que satisfaça a condição necessária vinda do caminho y=0. Logo a igualdade dada não ocorre para nenhum par de inteiros positivos m,n.

Resposta

b.

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