Considere a igualdade
onde
são números inteiros positivos. Então é correto afirmar que:
Escolha uma ou mais:
onde
Escolha uma ou mais:
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
onde
e
são números inteiros positivos, e pede que a gente escolha quais afirmações entre as opções são corretas. Informações relevantes dadas:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - A igualdade deve valer quando
tende a por qualquer caminho (limite de duas variáveis). -
e são inteiros positivos (ou seja, ).
Passo 2
Primeiro vamos entender o comportamento de
quando
. Aula rápida: para
pequeno, a expansão de Taylor de
é
onde
significa termos que tendem a zero mais rápido que
. Elevando à sexta potência, o termo dominante é
isto é,
. Em linguagem prática: para fins de comparação de ordens,
comporta-se como
quando
.
Passo 3
Para a existência da igualdade do limite igual a
é necessário que, ao tomar caminhos simples de aproximação (por exemplo os eixos), o limite também valha
. Vamos testar o caminho
(aproximar pela reta vertical):
- Se
então a expressão vira
Usando o comportamento
, obtemos
Para que esse limite seja
(e não
nem
), é necessário que as potências coincidam e os coeficientes dominantes coincidam. Como o coeficiente dominante de
é
, precisamos de
que dá
Portanto qualquer candidato válido deve ter
.
Passo 4
Agora testamos o caminho
(aproximar pelo eixo
):
- Se
a expressão vira
Para que o limite quando
seja
, precisamos que o expoente de
seja zero, isto é
Isto implica
Mas isto não é um número inteiro. Lembre-se que o enunciado exige
inteiro positivo. Logo não existe
que satisfaz
.
Passo 5
Vamos discutir todas as possibilidades restantes para
inteiramente, só para ficar claro:
- Se
(isto é, ), então e quando . Assim o limite ao longo do eixo seria , não . - Se
(isto é, ), então e quando . Assim o limite ao longo do eixo seria , também não . - Só
daria limite ao longo deste caminho, mas isto exige , que não é inteiro.
Portanto, não existe
que faça o limite valer
quando se aproxima pelo eixo
.
Passo 6
Conclusão: já que o limite deve valer
para todo caminho de aproximação, e o caminho
(eixo
) é um caminho legítimo, a condição não pode ser satisfeita por nenhum par
com
inteiros positivos. Mesmo encontrando
do caminho
, não existe
inteiro que satisfaça a condição necessária vinda do caminho
. Logo a igualdade dada não ocorre para nenhum par de inteiros positivos
.
Resposta
b.