Considere os planos
e
dados respectivamente por:
.
Entre as alternativas abaixo, marque as corretas.
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Escolha uma ou mais:
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Escolha uma ou mais:
Passo 1
O enunciado dá dois planos
e apresenta as alternativas (a) a (f) para serem julgadas verdadeiras ou falsas.
As informações relevantes que devemos usar são as equações dos planos acima.
O que se pede implicitamente é verificar, para cada alternativa, se a afirmação sobre interseção, perpendicularidade, coincidência, forma da reta de interseção, possibilidade de interseção pontual e expressão do cosseno do ângulo entre planos é correta, possivelmente dependendo do valor de .
As informações relevantes que devemos usar são as equações dos planos acima.
O que se pede implicitamente é verificar, para cada alternativa, se a afirmação sobre interseção, perpendicularidade, coincidência, forma da reta de interseção, possibilidade de interseção pontual e expressão do cosseno do ângulo entre planos é correta, possivelmente dependendo do valor de
Passo 2
Primeiro, extraímos os vetores normais aos planos — isso é fundamental porque muitas propriedades (paralelismo, perpendicularidade, ângulo entre planos) dependem dos normais.
O vetor normal de um plano é
. Assim:
O vetor normal de um plano
Explicação didática rápida: o normal é um vetor perpendicular ao plano; conhecendo os vetores normais podemos decidir se dois planos são paralelos (normais paralelos), coincidentes (normais paralelos e termos constantes proporcionais), ou encontrar o ângulo entre planos (ângulo entre normais).
Passo 3
Verificamos quando os planos são paralelos (ou proporcionales nos normais). Dois vetores são paralelos se existe escala
tal que
. Comparando coordenadas:
Da componente
obtemos
. Da componente
obtemos
(consistente). Da componente
obtemos
.
Portanto os normais são colineares (paralelos/antiparalelos) só quando . Para
os normais não são paralelos, logo os planos não são paralelos e sua interseção é uma reta (caso típico de dois planos não paralelos em
).
Quando , temos as equações
Portanto os normais são colineares (paralelos/antiparalelos) só quando
Quando
e a segunda é exatamente
vezes a primeira, logo ambas representam o mesmo plano (coincidem). Conclusão importante: para qualquer
os planos têm interseção não vazia — para
é uma reta, e para
é o próprio plano (coincidem). Esta observação responde à alternativa (a): ela é verdadeira.
Passo 4
Agora tratamos perpendicularidade (alternativa b). Dois planos são perpendiculares se e somente se seus vetores normais são perpendiculares, isto é,
. Calculamos o produto escalar:
Para que sejam perpendiculares precisamos de
, ou seja
. A alternativa (b) afirma
; isso não coincide com o que encontramos. Portanto (b) é falsa. (Explicação:
vem de lugar nenhum — o valor correto é
.)
Passo 5
Sobre coincidência dos planos (alternativa c): dois planos coincidem somente se seus vetores normais são paralelos e os termos constantes também forem proporcionais com o mesmo fator. Já vimos no Passo 3 que isto ocorre para
— nesse caso as equações são equivalentes. Logo não é verdade que “independente do valor de
os planos não se coincidem”: para
eles coincidem. Portanto (c) é falsa.
Passo 6
Vamos obter explicitamente a reta de interseção para o caso
e checar a alternativa (d). Uma técnica prática é somar e subtrair as equações
e
.
Somando:
Como estamos no caso
, segue
.
Subtraindo
de
:
Dividindo por
:
Portanto a interseção quando
é dada por
e
. Isso pode ser parametrizado por
e
. A alternativa (d) afirmava exatamente que, se
, a interseção é a reta com
e
— isto é correto. Logo (d) é verdadeira.
Passo 7
A alternativa (e) diz que, dependendo de
, os planos poderiam se interceptar em um único ponto. Em geometria no espaço
, a interseção de dois planos é tipicamente: uma reta (se não são paralelos), o próprio plano (se coincidem) ou vazia (se paralelos distintos). Não existe o caso de interseção em exatamente um ponto com apenas dois planos (seria necessário um terceiro plano para isolar um ponto). Portanto (e) é falsa.
Passo 8
Finalmente, tratamos a alternativa (f) sobre o cosseno do ângulo agudo entre os planos. Lembrando: o ângulo entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais. A fórmula do cosseno do ângulo
entre vetores
e
é
onde
significa valor absoluto do produto escalar no numerador (isso garante coseno não-negativo para o ângulo agudo). Aqui já calculamos
. Os comprimentos são
Logo
Observação: o denominador veio do produto
. Para o ângulo agudo tomamos o valor positivo do quociente — por isso o valor absoluto no numerador. Agora, se
então
e o valor absoluto desaparece, ficando
Portanto a expressão dada na alternativa (f) coincide com o cosseno do ângulo agudo exatamente quando
. A alternativa diz que "dependendo do valor de
, o cosseno do ângulo (agudo) … poderia ser
". Como existem valores de
(os que satisfazem
) para os quais essa expressão é de fato o cosseno do ângulo agudo, a afirmação, interpretada como "poderia ser para certos
", é verdadeira. Logo (f) é verdadeira (nota: a forma correta e geral é
, e a versão sem valor absoluto vale quando
).
Resposta
a
d
f
d
f