Considere os planos \prod_{1} e \prod_{2} dados respectivamente por:
\Pi_{1}: \quad a x+7 y+3 z=3, \quad \Pi_{2}: \quad a x-7 y-3 z=-3.
Entre as alternativas abaixo, marque as corretas.
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Escolha uma ou mais:
] a. independente do valor de \(a\), os planos \(\prod_{1}\) e \(\prod_{2}\) sempre tem interseção não nula \[] b. \quad \(\Pi_{1}\) e \(\Pi_{2}\) são perpendiculares se \(a^{2}=15\) \[] c. independente do valor de \(a\), os planos \(\prod_{1}\) e \(\prod_{2}\) não se coincidem \[] d. se \(a \neq 0\) então \(\prod_{1}\) e \(\prod_{2}\) se interceptam pela reta \(x=0, y=t\) e \(7 t+3 z=3\) \[] e. dependendo do valor de \(a_{n}\), os planos \(\prod_{1}\) e \(\prod_{2}\) poderíam se interceptar em um único ponto \[] f. dependendo do valor de \(a_{i}\), o cosseno do ângulo (agudo) entre os planos \(\Pi_{1}\) e \(\Pi_{2}\) podería ser \(\left(a^{2}-58\right) /\left(a^{2}+58\right)\)

Passo 1

O enunciado dá dois planos
\Pi_{1}:\quad a x + 7y + 3z = 3,
\Pi_{2}:\quad a x - 7y - 3z = -3,
e apresenta as alternativas (a) a (f) para serem julgadas verdadeiras ou falsas.
As informações relevantes que devemos usar são as equações dos planos acima.
O que se pede implicitamente é verificar, para cada alternativa, se a afirmação sobre interseção, perpendicularidade, coincidência, forma da reta de interseção, possibilidade de interseção pontual e expressão do cosseno do ângulo entre planos é correta, possivelmente dependendo do valor de a.

Passo 2

Primeiro, extraímos os vetores normais aos planos — isso é fundamental porque muitas propriedades (paralelismo, perpendicularidade, ângulo entre planos) dependem dos normais.
O vetor normal de um plano Ax+By+Cz=D é n=(A,B,C). Assim:
n_1 = (a,\,7,\,3),\qquad n_2 = (a,\,-7,\,-3).
Explicação didática rápida: o normal é um vetor perpendicular ao plano; conhecendo os vetores normais podemos decidir se dois planos são paralelos (normais paralelos), coincidentes (normais paralelos e termos constantes proporcionais), ou encontrar o ângulo entre planos (ângulo entre normais).

Passo 3

Verificamos quando os planos são paralelos (ou proporcionales nos normais). Dois vetores são paralelos se existe escala k tal que n_2 = k n_1. Comparando coordenadas:
(a,-7,-3) = k(a,7,3).
Da componente y obtemos -7 = 7k\Rightarrow k=-1. Da componente z obtemos -3 = 3k\Rightarrow k=-1 (consistente). Da componente x obtemos a = k a = -a\Rightarrow 2a=0\Rightarrow a=0.
Portanto os normais são colineares (paralelos/antiparalelos) só quando \,a=0. Para a\neq 0 os normais não são paralelos, logo os planos não são paralelos e sua interseção é uma reta (caso típico de dois planos não paralelos em \mathbb{R}^3).
Quando a=0, temos as equações
\Pi_1:\;7y+3z=3,\qquad \Pi_2:\;-7y-3z=-3,
e a segunda é exatamente -1 vezes a primeira, logo ambas representam o mesmo plano (coincidem). Conclusão importante: para qualquer a os planos têm interseção não vazia — para a\neq 0 é uma reta, e para a=0 é o próprio plano (coincidem). Esta observação responde à alternativa (a): ela é verdadeira.

Passo 4

Agora tratamos perpendicularidade (alternativa b). Dois planos são perpendiculares se e somente se seus vetores normais são perpendiculares, isto é, n_1\cdot n_2=0. Calculamos o produto escalar:
n_1\cdot n_2 = (a,7,3)\cdot(a,-7,-3) = a^2 -49 -9 = a^2 -58.
Para que sejam perpendiculares precisamos de a^2-58=0, ou seja \,a^2=58. A alternativa (b) afirma a^2=15; isso não coincide com o que encontramos. Portanto (b) é falsa. (Explicação: 15 vem de lugar nenhum — o valor correto é 58.)

Passo 5

Sobre coincidência dos planos (alternativa c): dois planos coincidem somente se seus vetores normais são paralelos e os termos constantes também forem proporcionais com o mesmo fator. Já vimos no Passo 3 que isto ocorre para a=0 — nesse caso as equações são equivalentes. Logo não é verdade que “independente do valor de a os planos não se coincidem”: para a=0 eles coincidem. Portanto (c) é falsa.

Passo 6

Vamos obter explicitamente a reta de interseção para o caso a\neq 0 e checar a alternativa (d). Uma técnica prática é somar e subtrair as equações \Pi_1 e \Pi_2.
Somando:
(a x+7y+3z) + (a x-7y-3z) = 3 + (-3) \Rightarrow 2a x = 0.
Como estamos no caso a\neq 0, segue x=0.
Subtraindo \Pi_2 de \Pi_1:
(a x+7y+3z) - (a x-7y-3z) = 3 - (-3) \Rightarrow 14y + 6z = 6.
Dividindo por 2:
7y + 3z = 3.
Portanto a interseção quando a\neq 0 é dada por x=0 e \;7y+3z=3. Isso pode ser parametrizado por y=t e z=\dfrac{3-7t}{3}. A alternativa (d) afirmava exatamente que, se a\neq 0, a interseção é a reta com x=0,\;y=t e 7t+3z=3 — isto é correto. Logo (d) é verdadeira.

Passo 7

A alternativa (e) diz que, dependendo de a, os planos poderiam se interceptar em um único ponto. Em geometria no espaço \mathbb{R}^3, a interseção de dois planos é tipicamente: uma reta (se não são paralelos), o próprio plano (se coincidem) ou vazia (se paralelos distintos). Não existe o caso de interseção em exatamente um ponto com apenas dois planos (seria necessário um terceiro plano para isolar um ponto). Portanto (e) é falsa.

Passo 8

Finalmente, tratamos a alternativa (f) sobre o cosseno do ângulo agudo entre os planos. Lembrando: o ângulo entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais. A fórmula do cosseno do ângulo \theta entre vetores u e v é
\cos\theta = \frac{|u\cdot v|}{\|u\|\|v\|},
onde |\cdot| significa valor absoluto do produto escalar no numerador (isso garante coseno não-negativo para o ângulo agudo). Aqui já calculamos u\cdot v = n_1\cdot n_2 = a^2-58. Os comprimentos são
\|n_1\| = \sqrt{a^2+7^2+3^2} = \sqrt{a^2+58},\qquad \|n_2\|=\sqrt{a^2+58}.
Logo
\cos\theta \;=\; \frac{|a^2-58|}{(a^2+58)}.
Observação: o denominador veio do produto \sqrt{a^2+58}\cdot\sqrt{a^2+58}=a^2+58. Para o ângulo agudo tomamos o valor positivo do quociente — por isso o valor absoluto no numerador. Agora, se a^2\ge 58 então a^2-58\ge 0 e o valor absoluto desaparece, ficando
\cos\theta = \frac{a^2-58}{a^2+58}.
Portanto a expressão dada na alternativa (f) coincide com o cosseno do ângulo agudo exatamente quando a^2\ge 58. A alternativa diz que "dependendo do valor de a_i, o cosseno do ângulo (agudo) … poderia ser \dfrac{a^2-58}{a^2+58}". Como existem valores de a (os que satisfazem a^2\ge58) para os quais essa expressão é de fato o cosseno do ângulo agudo, a afirmação, interpretada como "poderia ser para certos a", é verdadeira. Logo (f) é verdadeira (nota: a forma correta e geral é \dfrac{|a^2-58|}{a^2+58}, e a versão sem valor absoluto vale quando a^2\ge58).

Resposta

a
d
f

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