Considere os planos \Pi_{1} e \Pi_{2} dados respectivamente por: \Pi_{1}: \quad a x+y+10 z=7, \quad \Pi_{2}: \quad a x-y-10 z=-7.
Entre as alternativas abaixo, marque as corretas.
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Escolha uma ou mais:
] a. independente do valor de \(a_{\text {r }}\), o cosseno do ângulo (agudo) entre os planos \(\prod_{1}\) e \(\prod_{2}\) é \(\left(a^{2}-101\right) /\left(a^{2}+101\right)\)
\[] b. se \(a \leqslant 0\), então os planos \(\prod_{1}\) e \(\prod_{2}\) sempre são paralelos
\[] c. dependendo do valor de \(a\), os planos \(\prod_{1}\) e \(\prod_{2}\) poderíam se coincidir
\[] d. dependendo do valor de \(a\), o cosseno do ângulo (agudo) entre os planos \(\Pi_{1}\) e \(\Pi_{2}\) podería ser \(\left(a^{2}-101\right) /\left(a^{2}+101\right)\)
\[] e. independente do valor de \(a\), os planos \(\prod_{1}\) e \(\prod_{2}\) não se coincidem
\[] f. se \(a^{2}<101\) então os planos \(\Pi_{1}\) e \(\Pi_{2}\) necessariamente se interceptam por uma reta
Passo 1
O enunciado dá dois planos e nos pede para marcar as alternativas corretas entre as formas listadas. Dados importantes que vou usar (copiados do enunciado):
\Pi_{1}:\quad a x + y + 10 z = 7,
\Pi_{2}:\quad a x - y - 10 z = -7.
As alternativas a analisar são (resumindo):
a) fórmula do cosseno do ângulo agudo entre os planos é \dfrac{a^{2}-101}{a^{2}+101} para todo a.
b) se a\le 0 então os planos são sempre paralelos.
c) dependendo de a, os planos podem coincidir.
d) dependendo de a, o cosseno do ângulo agudo entre os planos poderia ser \dfrac{a^{2}-101}{a^{2}+101}.
e) independente de a, os planos não se coincidem.
f) se a^{2}<101 então os planos necessariamente se interceptam por uma reta.
Vou agora proceder passo a passo mostrando as contas e a teoria necessária para avaliar cada alternativa.
Passo 2
Primeiro conceito: o vetor normal a um plano dado por uma equação do tipo b x + c y + d z = e é (b,c,d). Esse vetor normal é útil porque o ângulo entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais.
Aplicando isso aos planos do enunciado, os vetores normais são
n_{1} = (a,\,1,\,10),
n_{2} = (a,\,-1,\,-10).
Expliquei: peguei esses coeficientes diretamente das equações dos planos.
Segundo conceito: produto escalar (dot product). Para vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) temos
u\cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3.
Isso serve para calcular o cosseno do ângulo entre vetores via
Quarto conceito: cosseno do ângulo entre planos. O ângulo entre os planos é o ângulo entre n_{1} e n_{2}. Para o ângulo agudo usamos o valor absoluto do cosseno calculado pelos normais, ou seja
Comentário didático: o valor absoluto aparece porque pedimos o ângulo agudo (entre 0 e \tfrac{\pi}{2}), cujo cosseno é não negativo. Sem o valor absoluto a expressão pode ser negativa, o que corresponderia ao cosseno do ângulo obtuso entre os normais.
Passo 4
Analiso a alternativa (a): ela afirma que, independente de a, o cosseno do ângulo agudo é \dfrac{a^{2}-101}{a^{2}+101}. Pelo passo anterior o valor correto é \dfrac{\left|a^{2}-101\right|}{a^{2}+101}. Portanto a fórmula da alternativa (a) está errada porque falta o módulo absoluto — para valores de a com a^{2}<101 a expressão indicada em (a) é negativa, enquanto o cosseno do ângulo agudo deve ser não negativo. Exemplo concreto: para a=0 temos a^{2}-101=-101; a expressão da alternativa (a) daria -1, mas o cosseno do ângulo agudo entre planos é +1 (pois os planos coincidem nesse caso, veja adiante). Conclusão: (a) é falsa.
Passo 5
Analiso a alternativa (b): “se a\le 0, então os planos sempre são paralelos.” Critério de paralelismo entre planos: dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são proporcionais, i.e. existe k tal que n_{1}=k n_{2}. Para nossos normais precisamos de
(a,1,10) = k\,(a,-1,-10).
Isso implica, se a\neq 0, que k=1 pela primeira componente, mas então 1 = k(-1) = -1, contradição. A única possibilidade que resolve as três coordenadas é a=0, caso em que n_{1}=(0,1,10) e n_{2}=(0,-1,-10) = -1\cdot n_{1}, ou seja, são proporcionais. Logo os planos são paralelos apenas quando a=0, não para todo a\le 0. Exemplo: a=-1 não dá paralelismo. Conclusão: (b) é falsa.
Passo 6
Analiso a alternativa (c): “dependendo do valor de a, os planos podem coincidir.” Condição para que dois planos coincidam: além dos normais serem proporcionais, os termos constantes também devem satisfazer a mesma proporcionalidade (ou, dito de outro modo, uma equação deve ser múltipla escalar exata da outra). Para a=0 vimos que n_{1}=(0,1,10) e n_{2}=(0,-1,-10)=-1\cdot n_{1}. Verifico os termos independentes: \Pi_{1} com a=0 é y+10z=7; multiplicando por -1 obtém-se -y-10z=-7, que é exatamente \Pi_{2}. Portanto para a=0 os planos coincidem. Assim existe valor de a que faz os planos coincidem; a alternativa (c) é verdadeira.
Passo 7
Analiso a alternativa (d): “dependendo do valor de a, o cosseno do ângulo agudo entre os planos poderia ser \dfrac{a^{2}-101}{a^{2}+101}.” Do passo 5 temos \cos(\theta_{\text{agudo}})=\dfrac{\left|a^{2}-101\right|}{a^{2}+101}. Se a^{2}\ge 101 então a^{2}-101\ge 0 e o valor absoluto some, ficando
Portanto para esses valores de a a expressão indicada em (d) é exatamente o cosseno do ângulo agudo. Logo a frase “dependendo do valor de a, poderia ser \dfrac{a^{2}-101}{a^{2}+101}” é verdadeira (por exemplo, a=\pm 11 dá a^{2}=121\ge101). Conclusão: (d) é verdadeira.
Passo 8
Analiso a alternativa (e): “independente do valor de a, os planos não se coincidem.” Mostrei no passo 8 que para a=0 eles coincidem. Logo não é verdade que independemente de a eles nunca coincidem. Conclusão: (e) é falsa.
Passo 9
Analiso a alternativa (f): “se a^{2}<101 então os planos necessariamente se interceptam por uma reta.” Quando dois planos não são paralelos (i.e. seus normais não são proporcionais) eles se interceptam por uma reta. Para quase todos os a com a^{2}<101 os normais não são proporcionais e, portanto, os planos interceptam numa reta. Mas há uma exceção importante: a=0 pertence a a^{2}<101 e para a=0 vimos que os planos coincidem (interseção é o próprio plano, não uma reta). Portanto não é verdade que para todos os a com a^{2}<101 a interseção seja necessariamente uma reta; há pelo menos o caso a=0 em que a interseção é o plano todo. Conclusão: (f) é falsa.