Considere a integração abaixo, calcule o valor de c de modo que a solução y possa satisfazer as seguintes condições.
integral f(x) d x=F(x)+c
a) f(x)=x^2, y(2)=0
b) f(x)=cos ^2 x, y(pi)=pi2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a constante de integração c de modo que a solução geral y=F(x)+c satisfaça uma condição inicial dada. O conteúdo é integração indefinida e aplicação de condições iniciais para determinar a constante.

Passo 2

Para o item (a), temos f(x)=x^2. Primeiro, integramos:
F(x)=integral x^2,dx=x^33
Em seguida, aplicamos a condição y(2)=0:
y(2)=F(2)+c=2^33+c=83+c=0
Assim,
c=-83

Passo 3

Para o item (b), temos f(x)=cos^2x. Usamos a identidade cos^2x=tfrac1+cos2x2 e integramos:
F(x)=integral cos^2x,dx=integral 1+cos2x2,dx=x2+sin2x4
Aplicamos a condição y(pi)=tfracpi2:
y(pi)=F(pi)+c=pi2+sin2pi4+c=pi2+c=pi2
Logo,
c=0

Resposta

No item (a) c=-tfrac83. No item (b) c=0.

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