Verifique que o campo de forças năo é conservativo e calcule o trabalho realizado pela força para mover a partícula do ponto ao ponto ao longo da curva parametrizada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer duas coisas aqui: primeiro, verificar se o campo de forças é conservativo ou não. Depois, calcular o trabalho que essa força faz para mover uma partícula do ponto até o ponto seguindo uma curva específica. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como rotacional e integrais de linha.
Passo 2
Vamos começar verificando se o campo de forças é conservativo. Um campo de forças é conservativo se existe uma função potencial $ \phi $ tal que . Uma maneira fácil de verificar isso é calculando o rotacional de . Se o rotacional for zero, o campo é conservativo; se não for, não é conservativo.
Passo 3
Calculando o rotacional . Primeiro, lembrando que:
Agora, substituindo :
Então:
Como o rotacional não é zero (a menos que , mas isso não vale para todo o espaço), concluímos que o campo não é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que o campo não é conservativo, precisamos calcular o trabalho realizado pela força ao mover a partícula do ponto ao ponto ao longo da curva . O trabalho é dado pela integral de linha:
Vamos parametrizar a curva e calcular essa integral.
Passo 5
Primeiro, identificamos os limites de . A curva começa em e termina em . Observando a parametrização :
Para , temos porque , e .
Para , queremos que , então . Verificamos que e deveria ser , mas há um pequeno conflito aqui. Parece que há um erro no ponto , mas para seguir em frente, vamos assumir que , que é onde a curva realmente chega em .
Passo 6
Agora, derivamos para obter . Temos:
Então, .
Passo 7
Vamos expressar ao longo da curva . Substituindo em :
Passo 8
Agora, calculamos o produto escalar :
Passo 9
Finalmente, integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho:
Vamos resolver cada termo separadamente:
(usando a identidade )
Somando tudo:
W = -pi2 + -e^pi - 12 + 2 e^2pi + 25
Resposta
O trabalho realizado pela força F ao mover a partícula de A até B ao longo da curva gamma(t) é:
W = -pi2 - e^pi + 12 + 2 e^2pi + 25
Simplificando, temos:
W = 2 e^2pi + 25 - e^pi + 12 - pi2
Esse é o valor final do trabalho realizado pela força F.