Verifique que o campo de forças F=(y, z, y z) năo é conservativo e calcule o trabalho realizado pela força F para mover a partícula do ponto A=(1,0,1) ao ponto B=(-1,0, e^x) ao longo da curva parametrizada por gamma(t)=(cos t, sen t, e^t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer duas coisas aqui: primeiro, verificar se o campo de forças F = (y, z, yz) é conservativo ou não. Depois, calcular o trabalho que essa força faz para mover uma partícula do ponto A = (1, 0, 1) até o ponto B = (-1, 0, e^x) seguindo uma curva específica. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como rotacional e integrais de linha.

Passo 2

Vamos começar verificando se o campo de forças F = (y, z, yz) é conservativo. Um campo de forças é conservativo se existe uma função potencial $ \phi $ tal que phi . Uma maneira fácil de verificar isso é calculando o rotacional de F = nabla phi. Se o rotacional for zero, o campo é conservativo; se não for, não é conservativo.

Passo 3

Calculando o rotacional nabla times F. Primeiro, lembrando que:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Agora, substituindo F = (y, z, yz):
  • partial Fzpartial y = partial (yz)partial y = z
  • partial Fypartial z = partial zpartial z = 1
  • partial Fxpartial z = partial ypartial z = 0
  • partial Fzpartial x = partial (yz)partial x = 0
  • partial Fypartial x = partial zpartial x = 0
  • partial Fxpartial y = partial ypartial y = 1
Então:
nabla times F = (z - 1, 0 - 0, 0 - 1) = (z - 1, 0, -1)
Como o rotacional nabla times F não é zero (a menos que z = 1, mas isso não vale para todo o espaço), concluímos que o campo F não é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que o campo não é conservativo, precisamos calcular o trabalho realizado pela força F ao mover a partícula do ponto A ao ponto B ao longo da curva gamma(t) = (cos t, sin t, e^t). O trabalho W é dado pela integral de linha:
W = integralgamma F cdot dr
Vamos parametrizar a curva e calcular essa integral.

Passo 5

Primeiro, identificamos os limites de t. A curva começa em A = (1, 0, 1) e termina em B = (-1, 0, e^x). Observando a parametrização gamma(t) = (cos t, sin t, e^t):
  • Para A = (1, 0, 1), temos t = 0 porque cos 0 = 1, sin 0 = 0 e e^0 = 1.
  • Para B = (-1, 0, e^-1), queremos que cos t = -1, então t = pi. Verificamos que sin pi = 0 e e^pi deveria ser e^-1, mas há um pequeno conflito aqui. Parece que há um erro no ponto B, mas para seguir em frente, vamos assumir que B = (-1, 0, e^pi), que é onde a curva realmente chega em t = pi.

Passo 6

Agora, derivamos gamma(t) para obter dr. Temos:
gamma(t) = (cos t, sin t, e^t) Rightarrow gamma'(t) = (-sin t, cos t, e^t)
Então, dr = gamma'(t) dt = (-sin t, cos t, e^t) dt.

Passo 7

Vamos expressar F ao longo da curva gamma(t). Substituindo gamma(t) em F = (y, z, yz):
F(gamma(t)) = (sin t, e^t, sin t cdot e^t) = (sin t, e^t, sin t e^t)

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar F(gamma(t)) cdot gamma'(t):
F cdot gamma' = (sin t)(-sin t) + (e^t)(cos t) + (sin t e^t)(e^t) = -sin^2 t + e^t cos t + sin t e^2t

Passo 9

Finalmente, integramos essa expressão de t = 0 a t = pi para encontrar o trabalho:
W = integral0^pi ( -sin^2 t + e^t cos t + sin t e^2t ) dt
Vamos resolver cada termo separadamente:
  1. integral0^pi -sin^2 t , dt = -pi2 (usando a identidade sin^2 t = 1 - cos 2t2)
  2. integral0^pi e^t cos t , dt = e^pi (cos pi + sin pi) - (cos 0 + sin 0)2 = e^pi (-1) - 12 = -e^pi - 12
  3. integral0^pi sin t e^2t , dt = e^2t (sin t - 2 cos t)5 |0^pi = e^2pi (0 - 2(-1)) - (0 - 2(1))5 = 2 e^2pi + 25
Somando tudo:
W = -pi2 + -e^pi - 12 + 2 e^2pi + 25

Resposta

O trabalho realizado pela força F ao mover a partícula de A até B ao longo da curva gamma(t) é:
W = -pi2 - e^pi + 12 + 2 e^2pi + 25
Simplificando, temos:
W = 2 e^2pi + 25 - e^pi + 12 - pi2
Esse é o valor final do trabalho realizado pela força F.

Exercícios relacionados