Resolva o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que pede para encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais onde conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis:
Podemos rearranjar isso para:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração do lado esquerdo em relação a
e do lado direito em relação a
:
Integrando cada lado, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de
usando a condição inicial
. Substituindo
e
na equação:
Passo 5
Agora que temos o valor de
, substituímos de volta na equação:
Para isolar
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Resposta
A solução do PVI é
.