Resolva o PVI:
y^prime=e^-y t, y(0)=ln (9+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que pede para encontrar a função que satisfaz a equação diferencial com a condição inicial . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais onde conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis:
dydt = e^-y t
Podemos rearranjar isso para:
e^y dy = t , dt

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração do lado esquerdo em relação a integral e^y dy = integral t , dt e do lado direito em relação a e^y = t^22 + C :
Integrando cada lado, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de e^ln(10) = 0^22 + C Rightarrow 10 = 0 + C Rightarrow C = 10 usando a condição inicial . Substituindo e na equação:

Passo 5

Agora que temos o valor de e^y = t^22 + 10 , substituímos de volta na equação:
y = ln(t^22 + 10)
Para isolar , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Resposta

A solução do PVI é .

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