\begin{aligned} & I_{1}=\int_{0}^{1 / 5} \sqrt[5]{1+x^{2}} d x \\\ & I_{2}=\int_{0}^{1 / 2} \sqrt{1+x^{3}} d x \end{aligned}
Assinale a alternativa correta.
(a) O número \frac{1}{5}+\frac{1}{3 \cdot 5^{3}} não aproxima o valor de I_{1} com |erro| inferior a \frac{4}{5^{8}}, mas o número \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{7}} aproxima sim o valor de I_{2} com |erro| inferior a \frac{1}{7 \cdot 2^{9}}.
(b) O número \frac{1}{5}+\frac{1}{3 \cdot 5^{3}} não aproxima o valor de I_{1} com |erro| inferior a \frac{4}{5^{8}}, assim como o número \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{7}} também não aproxima o valor de I_{2} com |erro| inferior a \frac{1}{7 \cdot 2^{9}}.
(c) O número \frac{1}{5}+\frac{1}{3 \cdot 5^{4}} aproxima o valor de I_{1} com |erro| inferior a \frac{4}{5^{8}}, mas o número \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{7}} não aproxima o valor de I_{2} com |erro| inferior a \frac{1}{7 \cdot 2^{9}}.
(d) O número \frac{1}{5}+\frac{1}{5^{4}} aproxima o valor de I_{1} com |erro| inferior a \frac{4}{5^{8}}, e o número \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{6}} aproxima o valor de I_{2} com |erro| inferior a \frac{1}{7 \cdot 2^{9}}.
(e) O número \frac{1}{5}+\frac{1}{3 \cdot 5^{4}} aproxima o valor de I_{1} com |erro| inferior a \frac{4}{5^{8}}, e o número \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{6}} aproxima o valor de I_{2} com |erro| inferior a \frac{1}{7 \cdot 2^{9}}.
e pede que escolhamos a alternativa correta entre (a)–(e). Cada alternativa faz declarações sobre aproximações numéricas para I_{1} e I_{2} e sobre se o erro absoluto dessas aproximações é menor que certos limites: \frac{4}{5^{8}} para I_{1} e \frac{1}{7\cdot 2^{9}} para I_{2}.
Informações relevantes do enunciado que usaremos explicitamente: os valores propostos como aproximações e os limites de erro que cada alternativa menciona.
Passo 2
Estratégia e ideia geral (sem resolver ainda): para integrandos da forma (1+t)^{\alpha} com t pequeno, é natural usar expansão em série de Taylor em t (binomial generalizado) até um termo que nos dê a aproximação proposta, e então estimar o resto da série pelo teorema de Taylor (forma integral ou com cota pelo sup da derivada). Vou fazer isso mudando a variável interna para t=x^{2} em I_{1} e para t=x^{3} em I_{2}, expandir (1+t)^{\alpha} até a ordem necessária e integrar termo a termo; depois obtenho uma cota simples para o resto usando a segunda derivada em t.
Portanto a aproximação natural (pela expansão até o termo em x^{2}) é
P_{1}=\frac{1}{5}+\frac{1}{3\cdot 5^{4}}.
Observação: a alternativa que contém \frac{1}{5}+\frac{1}{3\cdot 5^{4}} é a que usa o coeficiente correto; alternativas que têm \frac{1}{3\cdot 5^{3}} estão equivocadas no coeficiente.
Passo 6
Cota do erro para I_{1} usando a desigualdade do resto. Pelo item anterior, o erro absoluto ao aproximar por P_{1} satisfaz
Como \frac{2}{5^{8}}<\frac{4}{5^{8}}, concluímos que a aproximação P_{1}=\frac{1}{5}+\frac{1}{3\cdot 5^{4}} aproxima I_{1} com erro absoluto inferior a \frac{4}{5^{8}}.
Passo 7
Mostramos que a alternativa que usa \frac{1}{3\cdot 5^{3}} não satisfaz a cota. Seja a aproximação errada
Usando a cota |I_{1}-P_{1}|\le \frac{2}{5^{8}} obtemos
|I_{1}-Q_{1}|\ge \frac{4}{1875}-\frac{2}{5^{8}}.
Numérico rápido: \frac{4}{1875}\approx 0{,}00213 e \frac{2}{5^{8}}=\frac{2}{390625}\approx 0{,}00000512, então a diferença é aproximadamente 0{,}00212, muito maior que \frac{4}{5^{8}}=\frac{4}{390625}\approx 0{,}00001024. Portanto
|I_{1}-Q_{1}|>\frac{4}{5^{8}},
ou seja, Q_{1} não aproxima I_{1} com erro absoluto inferior a \frac{4}{5^{8}}. Isso confirma a parte sobre I_{1} nas alternativas que negam a validade de \frac{1}{5}+\frac{1}{3\cdot 5^{3}}.
Com a=\tfrac{1}{2} temos a^{4}=\tfrac{1}{16}, logo o segundo termo é \tfrac{1}{8}\cdot\tfrac{1}{16}=\tfrac{1}{128}=\tfrac{1}{2^{7}}. Assim a aproximação natural é
Comparação com a cota pedida: \dfrac{1}{7\cdot 2^{10}}<\dfrac{1}{7\cdot 2^{9}}. Portanto a afirmação de que P_{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{7}} aproxima I_{2} com erro absoluto inferior a \frac{1}{7\cdot 2^{9}} é verdadeira (a nossa cota é ainda mais forte).
Passo 12
Verificação rápida das outras formas propostas para I_{2}: a alternativa que propõe \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{6}} usa um termo incorreto (o termo correto da expansão é \frac{1}{2^{7}}). A diferença entre a proposta errada e P_{2} é
\frac{1}{2^{6}}-\frac{1}{2^{7}}=\frac{1}{2^{7}},
que é aproximadamente 0{,}0078, muito maior que \frac{1}{7\cdot 2^{9}}\approx 0{,}000279; logo essa proposta não satisfaz a cota pequena exigida.
Passo 13
Resumo dos resultados verificados:
Para I_{1}: a aproximação correta até x^{2} leva a P_{1}=\frac{1}{5}+\frac{1}{3\cdot 5^{4}} com erro \le \frac{2}{5^{8}}<\frac{4}{5^{8}}. A proposta errada \frac{1}{5}+\frac{1}{3\cdot 5^{3}} não satisfaz a cota \frac{4}{5^{8}}.
Para I_{2}: a aproximação correta até x^{3} leva a P_{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{7}} com erro \le \frac{1}{7\cdot 2^{10}}<\frac{1}{7\cdot 2^{9}}. Portanto \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{7}} satisfaz a cota pedida; a proposta com \frac{1}{2^{6}} não satisfaz.