Considere as integrais definidas abaixo
\begin{aligned} & I_{1}=\int_{0}^{1 / 5} \sqrt[5]{1+x^{2}} d x \\\ & I_{2}=\int_{0}^{1 / 2} \sqrt{1+x^{3}} d x \end{aligned}
Assinale a alternativa correta.
(a) O número \frac{1}{5}+\frac{1}{3 \cdot 5^{3}} não aproxima o valor de I_{1} com |erro| inferior a \frac{4}{5^{8}}, mas o número \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{7}} aproxima sim o valor de I_{2} com |erro| inferior a \frac{1}{7 \cdot 2^{9}}.
(b) O número \frac{1}{5}+\frac{1}{3 \cdot 5^{3}} não aproxima o valor de I_{1} com |erro| inferior a \frac{4}{5^{8}}, assim como o número \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{7}} também não aproxima o valor de I_{2} com |erro| inferior a \frac{1}{7 \cdot 2^{9}}.
(c) O número \frac{1}{5}+\frac{1}{3 \cdot 5^{4}} aproxima o valor de I_{1} com |erro| inferior a \frac{4}{5^{8}}, mas o número \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{7}} não aproxima o valor de I_{2} com |erro| inferior a \frac{1}{7 \cdot 2^{9}}.
(d) O número \frac{1}{5}+\frac{1}{5^{4}} aproxima o valor de I_{1} com |erro| inferior a \frac{4}{5^{8}}, e o número \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{6}} aproxima o valor de I_{2} com |erro| inferior a \frac{1}{7 \cdot 2^{9}}.
(e) O número \frac{1}{5}+\frac{1}{3 \cdot 5^{4}} aproxima o valor de I_{1} com |erro| inferior a \frac{4}{5^{8}}, e o número \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{6}} aproxima o valor de I_{2} com |erro| inferior a \frac{1}{7 \cdot 2^{9}}.

Passo 1

O enunciado dá duas integrais definidas
I_{1}=\int_{0}^{1/5} \sqrt[5]{1+x^{2}}\,dx,\qquad I_{2}=\int_{0}^{1/2} \sqrt{1+x^{3}}\,dx
e pede que escolhamos a alternativa correta entre (a)–(e). Cada alternativa faz declarações sobre aproximações numéricas para I_{1} e I_{2} e sobre se o erro absoluto dessas aproximações é menor que certos limites: \frac{4}{5^{8}} para I_{1} e \frac{1}{7\cdot 2^{9}} para I_{2}.
Informações relevantes do enunciado que usaremos explicitamente: os valores propostos como aproximações e os limites de erro que cada alternativa menciona.

Passo 2

Estratégia e ideia geral (sem resolver ainda): para integrandos da forma (1+t)^{\alpha} com t pequeno, é natural usar expansão em série de Taylor em t (binomial generalizado) até um termo que nos dê a aproximação proposta, e então estimar o resto da série pelo teorema de Taylor (forma integral ou com cota pelo sup da derivada). Vou fazer isso mudando a variável interna para t=x^{2} em I_{1} e para t=x^{3} em I_{2}, expandir (1+t)^{\alpha} até a ordem necessária e integrar termo a termo; depois obtenho uma cota simples para o resto usando a segunda derivada em t.

Passo 3

Análise de I_{1}. Faço a mudança t=x^{2}. Defina
g(t)=(1+t)^{1/5},\qquad t\in[0,(1/5)^{2}]=\left[0,\frac{1}{25}\right].
A expansão de Taylor de g em t=0 até a ordem 1 é
g(t)=1+\frac{1}{5}t+R_g(t),
onde o resto R_g(t) pode ser estimado usando g''(t). Calculemos g''(t):
g'(t)=\frac{1}{5}(1+t)^{-4/5},\qquad g''(t)=\frac{1}{5}\left(-\frac{4}{5}\right)(1+t)^{-9/5}=-\frac{4}{25}(1+t)^{-9/5}.
Para t\ge 0 temos (1+t)^{-9/5}\le 1, logo
|g''(t)|\le \frac{4}{25}\quad\text{para }t\in\left[0,\frac{1}{25}\right].

Passo 4

Cota do resto em t. Pelo teorema de Taylor na forma com cota pelo sup da segunda derivada,
|R_g(t)|\le \frac{1}{2}\sup_{s\in[0,t]}|g''(s)|\; t^{2}\le \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{25}\; t^{2}=\frac{2}{25}t^{2}.
Voltando a x (lembre t=x^{2}), obtemos para x\in[0,1/5]
\left|(1+x^{2})^{1/5}-\left(1+\frac{1}{5}x^{2}\right)\right|\le \frac{2}{25}x^{4}.

Passo 5

Integramos a aproximação termo a termo para obter a aproximação sugerida. Integrando de 0 a a=1/5:
\int_{0}^{a} 1\,dx = a=\frac{1}{5},
\int_{0}^{a} \frac{1}{5}x^{2}\,dx=\frac{1}{5}\cdot\frac{a^{3}}{3}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{3\cdot 5^{3}}=\frac{1}{3\cdot 5^{4}}.
Portanto a aproximação natural (pela expansão até o termo em x^{2}) é
P_{1}=\frac{1}{5}+\frac{1}{3\cdot 5^{4}}.
Observação: a alternativa que contém \frac{1}{5}+\frac{1}{3\cdot 5^{4}} é a que usa o coeficiente correto; alternativas que têm \frac{1}{3\cdot 5^{3}} estão equivocadas no coeficiente.

Passo 6

Cota do erro para I_{1} usando a desigualdade do resto. Pelo item anterior, o erro absoluto ao aproximar por P_{1} satisfaz
|I_{1}-P_{1}|\le \int_{0}^{a}\frac{2}{25}x^{4}\,dx=\frac{2}{25}\cdot\frac{a^{5}}{5}=\frac{2}{125}a^{5}.
Com a=\frac{1}{5} temos a^{5}=\frac{1}{5^{5}}, então
|I_{1}-P_{1}|\le \frac{2}{125}\cdot\frac{1}{5^{5}}=\frac{2}{5^{8}}.
Como \frac{2}{5^{8}}<\frac{4}{5^{8}}, concluímos que a aproximação P_{1}=\frac{1}{5}+\frac{1}{3\cdot 5^{4}} aproxima I_{1} com erro absoluto inferior a \frac{4}{5^{8}}.

Passo 7

Mostramos que a alternativa que usa \frac{1}{3\cdot 5^{3}} não satisfaz a cota. Seja a aproximação errada
Q_{1}=\frac{1}{5}+\frac{1}{3\cdot 5^{3}}.
A diferença entre Q_{1} e o bom polinômio P_{1} é
|Q_{1}-P_{1}|=\frac{1}{3\cdot 5^{3}}-\frac{1}{3\cdot 5^{4}}=\frac{4}{1875}.
Pelo triângulo inverso,
|I_{1}-Q_{1}|\ge |Q_{1}-P_{1}|-|I_{1}-P_{1}|.
Usando a cota |I_{1}-P_{1}|\le \frac{2}{5^{8}} obtemos
|I_{1}-Q_{1}|\ge \frac{4}{1875}-\frac{2}{5^{8}}.
Numérico rápido: \frac{4}{1875}\approx 0{,}00213 e \frac{2}{5^{8}}=\frac{2}{390625}\approx 0{,}00000512, então a diferença é aproximadamente 0{,}00212, muito maior que \frac{4}{5^{8}}=\frac{4}{390625}\approx 0{,}00001024. Portanto
|I_{1}-Q_{1}|>\frac{4}{5^{8}},
ou seja, Q_{1} não aproxima I_{1} com erro absoluto inferior a \frac{4}{5^{8}}. Isso confirma a parte sobre I_{1} nas alternativas que negam a validade de \frac{1}{5}+\frac{1}{3\cdot 5^{3}}.

Passo 8

Agora I_{2}. Faço a mudança t=x^{3}. Defina
h(t)=(1+t)^{1/2},\qquad t\in\left[0,\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}\right]=\left[0,\frac{1}{8}\right].
A expansão até a ordem 1 em t é
h(t)=1+\frac{1}{2}t+R_h(t),
com
h''(t)=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)(1+t)^{-3/2}=-\frac{1}{4}(1+t)^{-3/2}.
Como (1+t)^{-3/2}\le 1 em t\ge 0, temos |h''(t)|\le \tfrac{1}{4} no intervalo considerado.

Passo 9

Cota do resto em t. Pelo mesmo argumento,
|R_h(t)|\le \frac{1}{2}\sup_{s\in[0,t]}|h''(s)|\;t^{2}\le \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\;t^{2}=\frac{1}{8}t^{2}.
Voltando a x (lembre t=x^{3}), obtemos para x\in[0,1/2]
\left|(1+x^{3})^{1/2}-\left(1+\frac{1}{2}x^{3}\right)\right|\le \frac{1}{8}x^{6}.

Passo 10

Integramos para obter a aproximação e a cota do erro. Integrando sobre 0\le x\le a=\tfrac{1}{2}:
\int_{0}^{a}1\,dx=a=\frac{1}{2},
\int_{0}^{a}\frac{1}{2}x^{3}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{a^{4}}{4}=\frac{a^{4}}{8}.
Com a=\tfrac{1}{2} temos a^{4}=\tfrac{1}{16}, logo o segundo termo é \tfrac{1}{8}\cdot\tfrac{1}{16}=\tfrac{1}{128}=\tfrac{1}{2^{7}}. Assim a aproximação natural é
P_{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{7}}.
A cota do erro é
|I_{2}-P_{2}|\le \int_{0}^{a}\frac{1}{8}x^{6}\,dx=\frac{1}{8}\cdot\frac{a^{7}}{7}=\frac{a^{7}}{56}.
Com a=\tfrac{1}{2} temos a^{7}=\tfrac{1}{128}, então
|I_{2}-P_{2}|\le \frac{1}{56}\cdot\frac{1}{128}=\frac{1}{7168}=\frac{1}{7\cdot 2^{10}}.

Passo 11

Comparação com a cota pedida: \dfrac{1}{7\cdot 2^{10}}<\dfrac{1}{7\cdot 2^{9}}. Portanto a afirmação de que P_{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{7}} aproxima I_{2} com erro absoluto inferior a \frac{1}{7\cdot 2^{9}} é verdadeira (a nossa cota é ainda mais forte).

Passo 12

Verificação rápida das outras formas propostas para I_{2}: a alternativa que propõe \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{6}} usa um termo incorreto (o termo correto da expansão é \frac{1}{2^{7}}). A diferença entre a proposta errada e P_{2} é
\frac{1}{2^{6}}-\frac{1}{2^{7}}=\frac{1}{2^{7}},
que é aproximadamente 0{,}0078, muito maior que \frac{1}{7\cdot 2^{9}}\approx 0{,}000279; logo essa proposta não satisfaz a cota pequena exigida.

Passo 13

Resumo dos resultados verificados:
  • Para I_{1}: a aproximação correta até x^{2} leva a P_{1}=\frac{1}{5}+\frac{1}{3\cdot 5^{4}} com erro \le \frac{2}{5^{8}}<\frac{4}{5^{8}}. A proposta errada \frac{1}{5}+\frac{1}{3\cdot 5^{3}} não satisfaz a cota \frac{4}{5^{8}}.
  • Para I_{2}: a aproximação correta até x^{3} leva a P_{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{7}} com erro \le \frac{1}{7\cdot 2^{10}}<\frac{1}{7\cdot 2^{9}}. Portanto \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{7}} satisfaz a cota pedida; a proposta com \frac{1}{2^{6}} não satisfaz.

Resposta

(a)

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