Determine o maior intervalo de convergência I, da série \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{2 n} x^{n}.
(a) I=[-1,1).
(b) A série converge somente em x=0.
(c) I=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right].
(d) I=(-1,1).
(e) I=\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o maior intervalo de convergência I da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{2n}\,x^{n}.
As informações relevantes que temos são:
a_n=\sqrt{2n}\quad\text{e a série é}\quad\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n.éé
A pergunta é: qual é o maior conjunto de x\in\mathbb{R} em que essa série converge? (Temos que verificar também os pontos extremos do intervalo de convergência.)

Passo 2

Vamos usar um teste que é padrão para séries de potências: a fórmula do raio de convergência via raiz n-ésima (ou limsup). Para uma série de potências \sum a_n x^n o raio de convergência R é dado por
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Explicando com calma: R significa que a série converge absolutamente para todos os x com |x|<R e diverge para todos os x com |x|>R. Resta verificar o que acontece em |x|=R (os extremos).

Passo 3

Calculo de \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n} para a_n=\sqrt{2n}.
Escrevemos
|a_n|^{1/n}=(\sqrt{2n})^{1/n}=(2n)^{1/(2n)}.
Para achar o limite dessa expressão, é útil aplicar logaritmo e usar limite conhecido. Seja
L=\lim_{n\to\infty} (2n)^{1/(2n)}.
Então
\ln L=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(2n)}{2n}.
Como \ln(2n) cresce muito mais devagar que 2n, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(2n)}{2n}=0,
logo \ln L=0 e portanto L=1. Assim
\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=1.

Passo 4

Usando a fórmula do raio de convergência,
R=\frac{1}{1}=1.
Isto quer dizer que a série converge absolutamente para todo x com |x|<1 e diverge para todo x com |x|>1. Agora precisamos analisar os extremos x=1 e x=-1 separadamente.

Passo 5

Teste do extremo x=1. Substituindo x=1 na série obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{2n}.
Um teste básico: para qualquer série convergente, os termos devem tender a zero. Aqui o termo geral é \sqrt{2n} que tende a +\infty, logo não tende a zero. Portanto a série diverge em x=1.

Passo 6

Teste do extremo x=-1. Substituindo x=-1 obtemos a série
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{2n}\,(-1)^n.
Novamente, o termo geral tem magnitude \sqrt{2n} que tende a +\infty, então os termos não tendem a zero; pelo teste da terminação (crité rio necessário) a série não pode convergir. Portanto diverge em x=-1.

Passo 7

Resumo do que já provamos: a série converge absolutamente para todo x com |x|<1, diverge para todo x com |x|>1, e também diverge nos dois pontos extremos x=1 e x=-1. Isso determina o maior intervalo de convergência.

Resposta

I=(-1,1)

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