Determine o maior intervalo de convergência
, da série
.
(a)
.
(b) A série converge somente em
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b) A série converge somente em
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o maior intervalo de convergência
da série de potências
As informações relevantes que temos são:
A pergunta é: qual é o maior conjunto de
em que essa série converge? (Temos que verificar também os pontos extremos do intervalo de convergência.)
Passo 2
Vamos usar um teste que é padrão para séries de potências: a fórmula do raio de convergência via raiz
-ésima (ou limsup). Para uma série de potências
o raio de convergência
é dado por
Explicando com calma:
significa que a série converge absolutamente para todos os
com
e diverge para todos os
com
. Resta verificar o que acontece em
(os extremos).
Passo 3
Calculo de
para
.
Escrevemos
Escrevemos
Para achar o limite dessa expressão, é útil aplicar logaritmo e usar limite conhecido. Seja
Então
Como
cresce muito mais devagar que
, temos
logo
e portanto
. Assim
Passo 4
Usando a fórmula do raio de convergência,
Isto quer dizer que a série converge absolutamente para todo
com
e diverge para todo
com
. Agora precisamos analisar os extremos
e
separadamente.
Passo 5
Teste do extremo
. Substituindo
na série obtemos
Um teste básico: para qualquer série convergente, os termos devem tender a zero. Aqui o termo geral é
que tende a
, logo não tende a zero. Portanto a série diverge em
.
Passo 6
Teste do extremo
. Substituindo
obtemos a série
Novamente, o termo geral tem magnitude
que tende a
, então os termos não tendem a zero; pelo teste da terminação (crité rio necessário) a série não pode convergir. Portanto diverge em
.
Passo 7
Resumo do que já provamos: a série converge absolutamente para todo
com
, diverge para todo
com
, e também diverge nos dois pontos extremos
e
. Isso determina o maior intervalo de convergência.