Considere a integral dupla I=\int_{D} \int x y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{4} d A
em que D é a região situada no primeiro quadrante que é simultaneamente interior às circunferências x^{2}+y^{2}=\frac{5}{2} e x^{2}+y^{2}=3 y.
Após escrever I em coordenadas cartesianas, nas duas ordens de integração possíveis, responda aos itens abaixo:
a) Tomando x como variável independente, I deve ser escrita como uma única integral dupla, dada por
\boldsymbol{I}=
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b) Tomando y como variável independente, I deve ser escrita como soma de duas integrais duplas, da forma I=I_{1}+I_{2}.
Supondo que os limitantes de integração de x na integral dupla I_{1} são menores ou iguais do que os limitantes de integração de \boldsymbol{x} na integral dupla \boldsymbol{I}_{2}, tem-se que:
a primeira integral dupla é
I_{1}=\square
e a segunda integral dupla é
I_{2}=\square
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c) Ao utilizar coordenadas polares, I também deve ser escrita como uma soma de duas integrais duplas, da forma I=I_{3}+I_{4}.
Supondo que os limitantes de integração de \theta na integral dupla I_{3} são menores ou iguais do que os limitantes de integração de \theta na integral dupla I, tem-se que:

Passo 1

O enunciado pede para descrever a integral dupla
I=\iint_{D} x y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{4}\,dA
onde D é a região do primeiro quadrante que é interior às circunferências
x^{2}+y^{2}=\tfrac{5}{2} \qquad\text{e}\qquad x^{2}+y^{2}=3y.
As questões pedem:
  • (a) Escrever I em coordenadas cartesianas tomando x como variável independente (ou seja, escrever I na forma \int_{x=\cdot}^{\cdot}\int_{y=\cdot}^{\cdot}\cdots dy\,dx), como uma única integral dupla.
  • (b) Escrever I em coordenadas cartesianas tomando y como variável independente (ou seja, na forma \int_{y=\cdot}^{\cdot}\int_{x=\cdot}^{\cdot}\cdots dx\,dy), neste caso como soma de duas integrais I=I_{1}+I_{2}. Pediu-se também que eu suponha que os limites de x em I_{1} sejam menores ou iguais aos de I_{2} e então escreva explicitamente I_{1} e I_{2}.
  • (c) Escrever I em coordenadas polares como soma de duas integrais I=I_{3}+I_{4}, supondo que os limites de \theta em I_{3} sejam menores ou iguais aos limites de \theta em I_{4}.
Informações úteis dadas ou imediatamente dedutíveis:
  • As duas curvas são círculos. A segunda pode ser reescrita completando quadrado como x^{2}+(y-\tfrac{3}{2})^{2}=(\tfrac{3}{2})^{2}.
  • A região é no primeiro quadrante, logo x\ge0, y\ge0.
  • Para montar os limites precisamos conhecer o ponto(s) de interseção das duas circunferências.

Passo 2

Determinar as interseções das circunferências — ponto(s) comuns que delimitam a região.
Igualando as equações das circunferências:
x^{2}+y^{2}=\tfrac{5}{2} \qquad\text{e}\qquad x^{2}+y^{2}=3y.
Logo 3y=\tfrac{5}{2}, daí
y=\tfrac{5}{6}.
Substituindo em x^{2}+y^{2}=\tfrac{5}{2}:
x^{2}=\tfrac{5}{2}-\left(\tfrac{5}{6}\right)^{2}=\tfrac{90}{36}-\tfrac{25}{36}=\tfrac{65}{36}.
Portanto, na primeira quadrante a interseção é o ponto
\left(x,y\right)=\biggl(\dfrac{\sqrt{65}}{6},\\ \dfrac{5}{6}\biggr).
Esse ponto é importante porque é onde as duas fronteiras trocam de quem é “limitante” da região.

Passo 3

Entender a descrição da região D para montar os limites (cartesianos).
Primeiro círculo (centro na origem): x^{2}+y^{2}=\tfrac{5}{2}. Para um dado x admissível, a parte do disco corresponde a valores de y com
0\le y\le \sqrt{\tfrac{5}{2}-x^{2}}.
Segundo círculo (centro em (0,\tfrac{3}{2})): x^{2}+(y-\tfrac{3}{2})^{2}=(\tfrac{3}{2})^{2}. O disco interior dá, para um dado x,
\tfrac{3}{2}-\sqrt{\tfrac{9}{4}-x^{2}}\\ \le y\\ \le\\ \tfrac{3}{2}+\sqrt{\tfrac{9}{4}-x^{2}}.
Na primeira quadrante tomamos apenas a parte com y\ge0. A região D é a interseção desses dois discos no primeiro quadrante, então para cada x o y deve satisfazer ambas as desigualdades; isto é, y vai do maior dos limites inferiores até o menor dos limites superiores. Observando os valores, no intervalo de x relevante o limite superior será a curva do círculo de raio \sqrt{5/2} (a raiz positiva), e o limite inferior será a expressão \tfrac{3}{2}-\sqrt{\tfrac{9}{4}-x^{2}} (essa expressão é \ge0 para x\ge0, igual a 0 em x=0 e cresce para x>0). O intervalo de x vai de 0 até o x do ponto de interseção, que já achamos: \dfrac{\sqrt{65}}{6}.

Passo 4

Montar a integral única com x como variável independente (ou seja, integral na forma \int_{x=\cdot}^{\cdot}\int_{y=\cdot}^{\cdot}\cdots dy\,dx).
Com os argumentos do passo anterior, para 0\le x\le \dfrac{\sqrt{65}}{6} temos
\tfrac{3}{2}-\sqrt{\tfrac{9}{4}-x^{2}}\\ \le y\\ \le\\ \sqrt{\tfrac{5}{2}-x^{2}}.
Logo a expressão procurada em (a) é
I=\int_{0}^{\tfrac{\sqrt{65}}{6}}\int_{\tfrac{3}{2}-\sqrt{\tfrac{9}{4}-x^{2}}}^{\sqrt{\tfrac{5}{2}-x^{2}}} x\,y\,(x^{2}+y^{2})^{4}\,dy\,dx.

Passo 5

Agora tomar y como variável independente (ou seja, escrever I=\int_{y=\cdot}^{\cdot}\int_{x=\cdot}^{\cdot}\cdots dx\,dy), e observar que é preciso dividir em dois blocos porque o limite superior em x muda conforme y.
Para um dado y\ge0 pertencente à projeção de D sobre o eixo y, os valores de x\ge0 devem satisfazer simultaneamente
x^{2}\le \tfrac{5}{2}-y^{2} \qquad\text{e}\qquad x^{2}\le 3y-y^{2}.
Ou seja,
0\le x\le \min\bigl(\sqrt{\tfrac{5}{2}-y^{2}},\\ \sqrt{3y-y^{2}}\bigr).
As duas raízes se tornam iguais exatamente no valor de y da interseção, que já achamos: y=\tfrac{5}{6}. Para 0\le y\le \tfrac{5}{6} a função \sqrt{3y-y^{2}} é a menor (portanto domina o limite superior de x); para \tfrac{5}{6}\le y\le \sqrt{\tfrac{5}{2}} a função \sqrt{\tfrac{5}{2}-y^{2}} é a menor. A projeção da região no eixo y vai de y=0 até y=\sqrt{\tfrac{5}{2}} (o ponto mais alto do disco centrado na origem).
Portanto precisamos de duas integrais:
  • para y\in\bigl[0,\tfrac{5}{6}\bigr] temos 0\le x\le \sqrt{3y-y^{2}};
  • para y\in\bigl[\tfrac{5}{6},\sqrt{\tfrac{5}{2}}\bigr] temos 0\le x\le \sqrt{\tfrac{5}{2}-y^{2}}.

Passo 6

Escrever explicitamente I_{1} e I_{2} (com a suposição dada de que os limites de x em I_{1} são menores ou iguais aos limites de x em I_{2}):
I_{1}=\int_{0}^{\tfrac{5}{6}}\int_{0}^{\sqrt{3y-y^{2}}} x\,y\,(x^{2}+y^{2})^{4}\,dx\,dy,
I_{2}=\int_{\tfrac{5}{6}}^{\sqrt{\tfrac{5}{2}}}\int_{0}^{\sqrt{\tfrac{5}{2}-y^{2}}} x\,y\,(x^{2}+y^{2})^{4}\,dx\,dy.

Passo 7

Converter para coordenadas polares e dividir em duas integrais I_{3}+I_{4}.
Em coordenadas polares usa-se x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta. Então o integrando transforma-se assim:
x\,y\,(x^{2}+y^{2})^{4}\,dA = (r\cos\theta)(r\sin\theta)(r^{2})^{4}\,r\,dr\,d\theta = r^{11}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
As fronteiras em polares: a circunferência x^{2}+y^{2}=\tfrac{5}{2} vira r=\sqrt{\tfrac{5}{2}} (raio constante). A circunferência x^{2}+y^{2}=3y vira r^{2}=3r\sin\theta, isto é r=3\sin\theta (para r\ge0). Na interseção temos 3\sin\theta=\sqrt{\tfrac{5}{2}}, portanto o ângulo de troca é
\theta_{0}=\arcsin\!\biggl(\dfrac{\sqrt{5/2}}{3}\biggr).
No primeiro quadrante \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Para 0\le\theta\le\theta_{0} tem-se 3\sin\theta\le\sqrt{\tfrac{5}{2}}, então o limite radial superior é r=3\sin\theta; para \theta_{0}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2} tem-se 3\sin\theta\ge\sqrt{\tfrac{5}{2}}, então o limite radial superior é r=\sqrt{\tfrac{5}{2}}. Em ambos os casos o limite inferior é r=0.
Logo as duas integrais em polares são:
I_{3}=\int_{0}^{\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{5/2}}{3}\right)}\int_{0}^{3\sin\theta} r^{11}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta,
I_{4}=\int_{\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{5/2}}{3}\right)}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{\sqrt{5/2}} r^{11}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

Resposta

I=\displaystyle \int_{0}^{\tfrac{\sqrt{65}}{6}}\int_{\tfrac{3}{2}-\sqrt{\tfrac{9}{4}-x^{2}}}^{\sqrt{\tfrac{5}{2}-x^{2}}} x\,y\,(x^{2}+y^{2})^{4}\,dy\,dx.
I_{1}=\displaystyle \int_{0}^{\tfrac{5}{6}}\int_{0}^{\sqrt{3y-y^{2}}} x\,y\,(x^{2}+y^{2})^{4}\,dx\,dy.
I_{2}=\displaystyle \int_{\tfrac{5}{6}}^{\sqrt{\tfrac{5}{2}}}\int_{0}^{\sqrt{\tfrac{5}{2}-y^{2}}} x\,y\,(x^{2}+y^{2})^{4}\,dx\,dy.
I_{3}=\displaystyle \int_{0}^{\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{5/2}}{3}\right)}\int_{0}^{3\sin\theta} r^{11}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
I_{4}=\displaystyle \int_{\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{5/2}}{3}\right)}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{\sqrt{5/2}} r^{11}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

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