Considere a integral dupla
em que
é a região situada no primeiro quadrante que é simultaneamente interior às circunferências
e
.
Após escrever
em coordenadas cartesianas, nas duas ordens de integração possíveis, responda aos itens abaixo:
a) Tomando
como variável independente,
deve ser escrita como uma única integral dupla, dada por
□
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir suas respostas)
b) Tomando
como variável independente,
deve ser escrita como soma de duas integrais duplas, da forma
.
Supondo que os limitantes de integração de
na integral dupla
são menores ou iguais do que os limitantes de integração de
na integral dupla
, tem-se que:
a primeira integral dupla é
e a segunda integral dupla é
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir sua resposta)
c) Ao utilizar coordenadas polares,
também deve ser escrita como uma soma de duas integrais duplas, da forma
.
Supondo que os limitantes de integração de
na integral dupla
são menores ou iguais do que os limitantes de integração de
na integral dupla
, tem-se que:
em que
Após escrever
a) Tomando
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir suas respostas)
b) Tomando
a primeira integral dupla é
c) Ao utilizar coordenadas polares,
Supondo que os limitantes de integração de
Passo 1
O enunciado pede para descrever a integral dupla
onde
é a região do primeiro quadrante que é interior às circunferências
As questões pedem:
- (a) Escrever
em coordenadas cartesianas tomando como variável independente (ou seja, escrever na forma ), como uma única integral dupla. - (b) Escrever
em coordenadas cartesianas tomando como variável independente (ou seja, na forma ), neste caso como soma de duas integrais . Pediu-se também que eu suponha que os limites de em sejam menores ou iguais aos de e então escreva explicitamente e . - (c) Escrever
em coordenadas polares como soma de duas integrais , supondo que os limites de em sejam menores ou iguais aos limites de em .
Informações úteis dadas ou imediatamente dedutíveis:
- As duas curvas são círculos. A segunda pode ser reescrita completando quadrado como
. - A região é no primeiro quadrante, logo
, . - Para montar os limites precisamos conhecer o ponto(s) de interseção das duas circunferências.
Passo 2
Determinar as interseções das circunferências — ponto(s) comuns que delimitam a região.
Igualando as equações das circunferências:
Logo
, daí
Substituindo em
:
Portanto, na primeira quadrante a interseção é o ponto
Esse ponto é importante porque é onde as duas fronteiras trocam de quem é “limitante” da região.
Passo 3
Entender a descrição da região
para montar os limites (cartesianos).
Primeiro círculo (centro na origem):
. Para um dado
admissível, a parte do disco corresponde a valores de
com
Segundo círculo (centro em
):
. O disco interior dá, para um dado
,
Na primeira quadrante tomamos apenas a parte com
. A região
é a interseção desses dois discos no primeiro quadrante, então para cada
o
deve satisfazer ambas as desigualdades; isto é,
vai do maior dos limites inferiores até o menor dos limites superiores. Observando os valores, no intervalo de
relevante o limite superior será a curva do círculo de raio
(a raiz positiva), e o limite inferior será a expressão
(essa expressão é
para
, igual a
em
e cresce para
). O intervalo de
vai de
até o
do ponto de interseção, que já achamos:
.
Passo 4
Montar a integral única com
como variável independente (ou seja, integral na forma
).
Com os argumentos do passo anterior, para
temos
Logo a expressão procurada em (a) é
Passo 5
Agora tomar
como variável independente (ou seja, escrever
), e observar que é preciso dividir em dois blocos porque o limite superior em
muda conforme
.
Para um dado
pertencente à projeção de
sobre o eixo
, os valores de
devem satisfazer simultaneamente
Ou seja,
As duas raízes se tornam iguais exatamente no valor de
da interseção, que já achamos:
. Para
a função
é a menor (portanto domina o limite superior de
); para
a função
é a menor. A projeção da região no eixo
vai de
até
(o ponto mais alto do disco centrado na origem).
Portanto precisamos de duas integrais:
- para
temos ; - para
temos .
Passo 6
Escrever explicitamente
e
(com a suposição dada de que os limites de
em
são menores ou iguais aos limites de
em
):
Passo 7
Converter para coordenadas polares e dividir em duas integrais
.
Em coordenadas polares usa-se
,
,
e
. Então o integrando transforma-se assim:
As fronteiras em polares: a circunferência
vira
(raio constante). A circunferência
vira
, isto é
(para
). Na interseção temos
, portanto o ângulo de troca é
No primeiro quadrante
. Para
tem-se
, então o limite radial superior é
; para
tem-se
, então o limite radial superior é
. Em ambos os casos o limite inferior é
.
Logo as duas integrais em polares são: