Questão 1: Decomponha \iint_{R} f(x, y) d A nas duas possíveis ordens de integraçāo, considerando R a regiāo que contém a origem e é limitada pelas curvas x^{2}-y^{2}=1 e 3 x=2 y^{2}. Represente a região R geometricamente.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: decompor \iint_{R} f(x,y)\,dA nas duas ordens de integração possíveis (primeiro integrar em x depois em y, e vice‑versa) e representar geometricamente a região R.
  • A região R é descrita como “a região que contém a origem e é limitada pelas curvas”
    \;x^{2}-y^{2}=1\; e \;3x=2y^{2}.
  • Informações dadas (a partir do enunciado):
    • A curva \;x^{2}-y^{2}=1\; é uma hipérbole com ramos x=\pm\sqrt{1+y^{2}}.
    • A curva \;3x=2y^{2}\; é uma parábola horizontal com equação equivalente \;x=\dfrac{2}{3}y^{2}.
  • Tarefas imediatas (que vou executar nos passos seguintes):
    • Achar os pontos de interseção entre as duas curvas.
    • Determinar, para um dado y, qual é a abscissa esquerda e a direita (para escrever \int dx\,dy).
    • Determinar, para um dado x, quais são os limites em y (para escrever \int dy\,dx); possivelmente será necessário partir o intervalo de x em subintervalos.

Passo 2

Calcular as interseções das curvas (vai definir os limites em y e em x).
  • Igualando as expressões para x: \dfrac{2}{3}y^{2}=\sqrt{1+y^{2}}.Para resolver: eleve ao quadrado (atenção a possíveis raízes extranhas, depois verificamos sinais): \left(\dfrac{2}{3}y^{2}\right)^{2}=1+y^{2} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{4}{9}y^{4}-y^{2}-1=0.Coloque t=y^{2}\ge0: \dfrac{4}{9}t^{2}-t-1=0 \quad\Rightarrow\quad 4t^{2}-9t-9=0.Resolver a quadrática: t=\dfrac{9\pm\sqrt{81+144}}{8} =\dfrac{9\pm\sqrt{225}}{8} =\dfrac{9\pm15}{8}.Como t\ge0, a única solução física é t=\dfrac{9+15}{8}=\dfrac{24}{8}=3.Portanto y^{2}=3, isto é y=\pm\sqrt{3}. Substituindo em x=\dfrac{2}{3}y^{2} obtemos x=\dfrac{2}{3}\cdot 3=2.
  • Conclusão: as curvas se intersectam em \;(2,\sqrt{3}) e \;(2,-\sqrt{3}).

Passo 3

Determinar, para cada y entre as interseções, qual curva dá a abscissa esquerda e qual dá a direita (para montar \int dx\,dy).
  • Expressões como funções de y:
    • Parábola: \;x_{\text{par}}(y)=\dfrac{2}{3}y^{2}.
    • Hipérbole (ramo direito): \;x_{\text{hip}}(y)=\sqrt{1+y^{2}}.
  • Comparação: para qualquer y real \dfrac{2}{3}y^{2}\le \sqrt{1+y^{2}}com igualdade apenas em y^{2}=3 (pontos de interseção). Por exemplo em y=0 temos 0<1. Logo a parábola fica à esquerda e a hipérbole à direita no intervalo entre as interseções.
  • Intervalo de y onde a região existe: de -\sqrt{3} a +\sqrt{3}.
  • Portanto, para integrar primeiro em x (ordem dx\,dy) os limites são, para cada y\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}], x \text{ vai de } x=\dfrac{2}{3}y^{2}\quad\text{até}\quad x=\sqrt{1+y^{2}}.é

Passo 4

Escrever a decomposição com ordem dx\,dy (integrar em x primeiro, depois em y) — forma direta e única.
  • A decomposição é \iint_{R} f(x,y)\,dA =\int_{y=-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left(\int_{x=\tfrac{2}{3}y^{2}}^{\sqrt{1+y^{2}}} f(x,y)\,dx\right) dy.(Esta é a forma natural porque para cada y fixo a região R é o segmento horizontal entre as duas curvas.)

Passo 5

Construir a decomposição com ordem dy\,dx (integrar em y primeiro, depois em x). Aqui é preciso analisar os valores de x onde as duas curvas impõem restrições diferentes.
  • Partir das desigualdades que definem R: \dfrac{2}{3}y^{2}\le x \le \sqrt{1+y^{2}}.Para um x fixo, essas desigualdades equivalem a condições sobre y^{2}: x^{2}-1 \le y^{2} \le \dfrac{3}{2}x.(Explicação rápida: a segunda desigualdade vem de \dfrac{2}{3}y^{2}\le x \Rightarrow y^{2}\le\dfrac{3}{2}x. A primeira vem de x\le\sqrt{1+y^{2}}\Rightarrow x^{2}\le 1+y^{2}\Rightarrow y^{2}\ge x^{2}-1.)
  • Agora analisar casos em x:
    • Para 0\le x\le 1: tem x^{2}-1\le 0, então a condição y^{2}\ge x^{2}-1 é automática; o único limite efetivo é y^{2}\le\dfrac{3}{2}x. Assim, para 0\le x\le 1, y\in\left[-\sqrt{\tfrac{3}{2}x},\\ \sqrt{\tfrac{3}{2}x}\right].
    • Para 1\le x\le 2: tem x^{2}-1\ge 0, então as duas condições combinam e damos x^{2}-1 \le y^{2}\le \dfrac{3}{2}x \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^{2}-1}\le |y|\le \sqrt{\tfrac{3}{2}x}.Isso significa que, para cada x neste intervalo, y pertence a dois ramos simétricos: [-\,\sqrt{\tfrac{3}{2}x},\\\ -\sqrt{x^{2}-1}] e [\sqrt{x^{2}-1},\\ \sqrt{\tfrac{3}{2}x}].
  • Logo, escrevendo a integral em dy\,dx precisamos dividir o intervalo de x em [0,1] e [1,2]. Uma forma explícita é: \iint_{R} f(x,y)\,dA =\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=-\sqrt{\tfrac{3}{2}x}}^{\sqrt{\tfrac{3}{2}x}} f(x,y)\,dy\right)dx +\int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=-\sqrt{\tfrac{3}{2}x}}^{-\sqrt{x^{2}-1}} f(x,y)\,dy +\int_{y=\sqrt{x^{2}-1}}^{\sqrt{\tfrac{3}{2}x}} f(x,y)\,dy\right)dx.
  • Observação (simetria): como a região é simétrica em relação ao eixo x (isto é, troca y por -y), frequentemente usa‑se a versão com duas vezes a integral da metade superior. Por exemplo: \iint_{R} f(x,y)\,dA =\int_{x=0}^{1}2\left(\int_{y=0}^{\sqrt{\tfrac{3}{2}x}} f(x,y)\,dy\right)dx +\int_{x=1}^{2}2\left(\int_{y=\sqrt{x^{2}-1}}^{\sqrt{\tfrac{3}{2}x}} f(x,y)\,dy\right)dx,que é a mesma integral apresentada acima, escrita usando apenas as metades superiores e um fator 2.

Passo 6

Representação geométrica da região R (como desenhar e interpretar):
  • A região é simétrica em relação ao eixo x (troca y por -y).
  • Limites:
    • À esquerda: parábola horizontal \;x=\dfrac{2}{3}y^{2} que tem vértice em (0,0) e abre para a direita.
    • À direita: ramo direito da hipérbole \;x=\sqrt{1+y^{2}}, que para y=0 passa em x=1 e cresce para |y| grandes.
    • Interseções: (2,\pm\sqrt{3}).
  • Em termos de intervalo de x: a região ocupa 0\le x\le 2.
  • Esboço (mental ou no papel): trace o eixo x, a parábola com vértice na origem indo para a direita, trace o ramo direito da hipérbole que passa por (1,0) e encontra a parábola em (2,\pm\sqrt{3}); a região R é a faixa entre essas duas curvas, limitada verticalmente entre y=-\sqrt3 e y=+\sqrt3, incluindo a origem (que está sobre a parábola).

Resposta

\iint_{R} f(x,y)\,dA =\int_{y=-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left(\int_{x=\tfrac{2}{3}y^{2}}^{\sqrt{1+y^{2}}} f(x,y)\,dx\right)dy
\iint_{R} f(x,y)\,dA =\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=-\sqrt{\tfrac{3}{2}x}}^{\sqrt{\tfrac{3}{2}x}} f(x,y)\,dy\right)dx +\int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=-\sqrt{\tfrac{3}{2}x}}^{-\sqrt{x^{2}-1}} f(x,y)\,dy +\int_{y=\sqrt{x^{2}-1}}^{\sqrt{\tfrac{3}{2}x}} f(x,y)\,dy\right)dx.

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