Questāo 4: Use coordenadas polares para calcular a seguinte integral:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
Informações e o que é pedido:
- O parâmetro
é um número positivo (assumir ). - A integral interna é em
com limites até . - A integral externa é em
com limites até . - Objetivo: avaliar o valor numérico dessa integral usando coordenadas polares (troca de variáveis).
Passo 2
Descrever a região de integração em coordenadas cartesianas e a motivação para usar polares:
- A região
é
ou seja, o triângulo no primeiro quadrante limitado pelas retas
,
e
.
- Em coordenadas polares usamos as transformações
com
e
no primeiro quadrante.
- O fator de escala (Jacobiano) da transformação é
Explicação curta do Jacobiano: ao mudar para coordenadas polares um pequeno retângulo em
tem área aproximada
, por isso aparece o fator
.
Passo 3
Determinar os limites em coordenadas polares para a região
:
- A condição
e implica (pois ). - A condição
em polares é , portanto . - Conclusão: em polares a região é
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas polares:
- Substituindo
, e a região encontrada, obtemos
- Para integrar em
é conveniente fazer a mudança . Então , ou seja . Além disso . - Substituindo na integral interna:
os limites em
vão de
(quando
) até
(quando
).
- Assim a integral fica
Passo 5
Calcular a integral em
:
- Considere
- Use a substituição
, então e . Quando temos e quando temos . - Logo
- Integrando,
Passo 6
Voltar à integral em
e avaliar:
- Substituindo
temos
- Lembrar que
. Portanto
- Assim a integral total vale
.