Questāo 4: Use coordenadas polares para calcular a seguinte integral: \int_{0}^{a} \int_{y}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x d y.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{a}\int_{y}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx\,dy.
Informações e o que é pedido:
  • O parâmetro a é um número positivo (assumir a>0).
  • A integral interna é em x com limites x=y até x=a.
  • A integral externa é em y com limites y=0 até y=a.
  • Objetivo: avaliar o valor numérico dessa integral usando coordenadas polares (troca de variáveis).

Passo 2

Descrever a região de integração em coordenadas cartesianas e a motivação para usar polares:
  • A região R é
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le a,\; y\le x\le a\},
ou seja, o triângulo no primeiro quadrante limitado pelas retas y=0, x=y e x=a.
  • Em coordenadas polares usamos as transformações
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
com r\ge0 e 0\le\theta\le \frac{\pi}{2} no primeiro quadrante.
  • O fator de escala (Jacobiano) da transformação é
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicação curta do Jacobiano: ao mudar para coordenadas polares um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,dr\,d\theta, por isso aparece o fator r.

Passo 3

Determinar os limites em coordenadas polares para a região R:
  • A condição y\ge0 e y\le x implica 0\le\theta\le\frac{\pi}{4} (pois \tan\theta = y/x \le 1).
  • A condição x\le a em polares é r\cos\theta \le a, portanto 0\le r\le \dfrac{a}{\cos\theta}.
  • Conclusão: em polares a região é
0\le \theta\le \frac{\pi}{4},\qquad 0\le r\le \frac{a}{\cos\theta}.

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas polares:
  • Substituindo x=r\cos\theta, dx\,dy=r\,dr\,d\theta e a região encontrada, obtemos
\iint_{R}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx\,dy = \int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{a/\cos\theta}\sqrt{a^{2}-r^{2}\cos^{2}\theta}\; r\,dr\,d\theta.
  • Para integrar em r é conveniente fazer a mudança u=r\cos\theta. Então du=\cos\theta\,dr, ou seja dr=du/\cos\theta. Além disso r = u/\cos\theta.
  • Substituindo na integral interna:
r\,dr = \frac{u}{\cos\theta}\cdot\frac{du}{\cos\theta}=\frac{u\,du}{\cos^{2}\theta},
os limites em u vão de u=0 (quando r=0) até u=a (quando r=a/\cos\theta).
  • Assim a integral fica
\int_{0}^{\pi/4}\left(\frac{1}{\cos^{2}\theta}\int_{0}^{a} u\sqrt{a^{2}-u^{2}}\,du\right)d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em u:
  • Considere
J=\int_{0}^{a} u\sqrt{a^{2}-u^{2}}\,du.
  • Use a substituição t=a^{2}-u^{2}, então dt=-2u\,du e u\,du=-\tfrac{1}{2}dt. Quando u=0 temos t=a^{2} e quando u=a temos t=0.
  • Logo
J = \int_{t=a^{2}}^{0} \sqrt{t}\left(-\tfrac{1}{2}\right)dt = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}} t^{1/2}\,dt.
  • Integrando,
J=\tfrac{1}{2}\cdot\left[\tfrac{2}{3}t^{3/2}\right]_{0}^{a^{2}}=\tfrac{1}{3}(a^{2})^{3/2}=\tfrac{1}{3}a^{3}.

Passo 6

Voltar à integral em \theta e avaliar:
  • Substituindo J=\tfrac{1}{3}a^{3} temos
\iint_{R}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx\,dy = \frac{a^{3}}{3}\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{\cos^{2}\theta}\,d\theta.
  • Lembrar que \dfrac{d}{d\theta}(\tan\theta)=\operatorname{sec}^{2}\theta=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}. Portanto
\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{\cos^{2}\theta}\,d\theta = \left[\tan\theta\right]_{0}^{\pi/4} = \tan\frac{\pi}{4}-\tan 0 = 1-0 = 1.
  • Assim a integral total vale \dfrac{a^{3}}{3}.

Resposta

\dfrac{a^{3}}{3}

Exercícios relacionados