Considere a integral dupla
.
em que
é a região situada no primeiro quadrante que é simultaneamente interior às circunferências
e
.
Após escrever
em coordenadas cartesianas, nas duas ordens de integração possíveis, responda aos itens abaixo:
a) Tomando
como variável independente,
deve ser escrita como uma única integral dupla, dada por
□
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir suas respostas)
b) Tomando
como variável independente,
deve ser escrita como soma de duas integrais duplas, da forma
.
Supondo que os limitantes de integração de
na integral dupla
são menores ou iguais do que os limitantes de integração de
na integral dupla
, tem-se que:
a primeira integral dupla é
e a segunda integral dupla é
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir sua resposta)
c) Ao utilizar coordenadas polares,
também deve ser escrita como uma soma de duas integrais duplas, da forma
.
Supondo que os limitantes de integração de
na integral dupla
são menores ou iguais do que os limitantes de integração de
na integral dupla
, tem-se que:
i) os limitantes de integração de
são:
ii) os limitantes de integração de
são:
Além disso, após transformar o integrando para coordenadas polares, juntamente com o diferencial de área, obtém-se que
em que
Após escrever
a) Tomando
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir suas respostas)
b) Tomando
Supondo que os limitantes de integração de
a primeira integral dupla é
c) Ao utilizar coordenadas polares,
Supondo que os limitantes de integração de
i) os limitantes de integração de
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados que temos (sem resolver nada ainda).
- O integrando é
. - A região
é a parte do primeiro quadrante que é simultaneamente interior às circunferências e - As tarefas pedidas:
- (a) Escrever
em coordenadas cartesianas tomando como variável independente (isto é, montar uma única integral dupla com como variável externa e como interna). - (b) Escrever
em coordenadas cartesianas tomando como variável independente; nesse caso deve ser soma de duas integrais , especificando os limites de cada uma (com a condição dada sobre os limitantes de ). - (c) Passar para coordenadas polares e escrever
com os limites pedidos (split em ), e transformar o integrando com o diferencial de área, indicando o resultado .
- (a) Escrever
Os dados importantes que vamos usar: expressões das curvas e que estamos no primeiro quadrante (
). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Entender geometricamente as duas curvas e encontrar suas interseções — passo essencial para montar os limites.
-
A curva
é o círculo centrado em com raio . -
A curva
reescrita completa o quadrado: ou seja, círculo centrado emcom raio . -
Para encontrar a interseção das duas curvas resolvemosIgualando os lados direitos obtemos
, logo Substituindo emobtemos portantoEsse pontoé a interseção no primeiro quadrante. Esse valor servirá como limite extremo em quando escolhermos como variável externa.
Passo 3
Descrer matematicamente a região
em termos de desigualdades úteis.
-
Ser interior ao círculo de raio
significa -
Ser interior ao círculo centrado em
com raio significa Tomando raízes (e lembrandono primeiro quadrante), a desigualdade resulta em Como estamos no primeiro quadrante e a outra condição nos restringe a(que é ), o limite superior é irrelevante; o que importa é o limite inferior -
Assim, para cada
no intervalo apropriado, os válidos satisfazem simultaneamente Esse intervalo deexiste enquanto o limite inferior for limite superior; isso se dá precisamente para (o ponto de interseção encontrado no Passo 2).
Passo 4
Montar a integral única com
externo (isto é, integrando em
primeiro e depois em
). Vou explicar por que os limites são esses.
- O menor valor de
na região é (pois estamos no 1º quadrante). - O maior valor de
é o da interseção, . - Para cada
fixo em , varia de - Portanto a integral pedida em (a) é
Passo 5
Agora escrever
tomando
como variável independente. Aqui a ideia é: para um dado
fixo, os
admissíveis são de
até o menor dos dois valores dados por resolver cada curva para
. Precisamos ver em que intervalos de
cada uma das curvas domina.
- Isolando
nas duas curvas: e - Para um
fixo, deve satisfazer , isto é, . - As duas expressões se igualam quando
. - Para
tem-se , então e o limite em é . - Para
tem-se , então e o limite em é . - O valor máximo de
na região é dado pelo círculo menor (pois não pode exceder mantendo ). Portanto partimos o integral em dois pedaços em e em .
Assim:
- A primeira integral (onde os limitantes de
são menores) é - A segunda integral é
Passo 6
Passo para coordenadas polares — primeiro reescrevo as duas curvas em polares e determino o ângulo de separação.
- Em coordenadas polares
temos . - A curva
vira , ou seja - A curva
vira . Para obtemos - A interseção das duas curvas em polares é dada por
Chamo esse ângulo de , isto é Esse ângulo está no primeiro quadrante e é o ponto onde as duas fronteiras trocam de papel (qual fornece o menor ).
Passo 7
Determinar os dois intervalos em
e os correspondentes limites em
.
- Quando
é pequeno (isto é ), temos , logo o limite superior em será . Assim em o varia . - Quando
é maior ( ), tem-se e o limite superior passa a ser . Assim em o varia .
Portanto as duas integrais em polares (com
separado como pedido) são:
- Para
: - Para
:
Passo 8
Transformar o integrando e o diferencial de área para coordenadas polares e obter a expressão
.
- Em polares:
. - O integrando
fica - O diferencial de área é
. - Multiplicando tudo:
Logo em polares o integrando convertido com
é
.
Passo 9
Resumo rápido do que obtivemos (pronto para conferir as respostas pedidas):
- (a) integral única com
externo: de até ; para cada , vai de até . - (b) com
externo: duas integrais e com pontos de divisão em ; limites de dados por e conforme explicado. - (c) em polares: ângulo de divisão
; limites conforme listado; integrando convertido é .