Calcule a integral
\int \frac{d x}{x^{2}-9}
da seguinte forma:
a) Realizando uma substituição trigonométrica.
b) Transformando a função racional em frações parciais. Derive o resultado da integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{d x}{x^{2}-9}
de duas maneiras distintas:
  • (a) usando uma substituição trigonométrica;
  • (b) decompondo a função racional em frações parciais e integrando.
Informações dadas: a integranda é \dfrac{1}{x^{2}-9}, que tem fatores quadráticos do tipo diferença de quadrados x^{2}-9=(x-3)(x+3). O objetivo é obter uma primitiva (antiderivada) completa, incluindo a constante de integração.

Passo 2

Ideia da substituição trigonométrica (parte a): para expressões do tipo x^{2}-a^{2} uma escolha padrão é usar x=a\operatorname{sec}\theta, porque \operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta. Aqui a=3. Então fazemos a substituição
x=3\operatorname{sec}\theta.
Agora calculemos dx e x^{2}-9 em função de \theta.
Derivando x em relação a \theta temos
dx = 3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
E
x^{2}-9=(3\operatorname{sec}\theta)^{2}-9=9\operatorname{sec}^{2}\theta-9=9(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)=9\tan^{2}\theta.

Passo 3

Substituindo na integral:
\int \frac{dx}{x^{2}-9} = \int \frac{3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{9\tan^{2}\theta} = \int \frac{\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{3\tan^{2}\theta}\,d\theta = \frac{1}{3}\int \frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan\theta}\,d\theta.
Simplifique a fração trigonométrica: \dfrac{\operatorname{sec}\theta}{\tan\theta}=\dfrac{1/\cos\theta}{\sin\theta/\cos\theta}=\dfrac{1}{\sin\theta}=\csc\theta. Portanto
\int \frac{dx}{x^{2}-9}=\frac{1}{3}\int \csc\theta\,d\theta.

Passo 4

Precisamos da primitiva de \csc\theta. Uma primitiva conhecida e fácil de derivar é
\int \csc\theta\,d\theta=\ln\bigl|\tan\frac{\theta}{2}\bigr|+C
ou, equivalentemente,
\int \csc\theta\,d\theta=\ln\bigl|\csc\theta-\cot\theta\bigr|+C.
Aqui vou usar \ln\bigl|\csc\theta-\cot\theta\bigr| porque facilita a substituição inversa depois. Assim
\int \frac{dx}{x^{2}-9}=\frac{1}{3}\ln\bigl|\csc\theta-\cot\theta\bigr|+C.

Passo 5

Voltar para a variável x. Da substituição x=3\operatorname{sec}\theta temos \operatorname{sec}\theta=\dfrac{x}{3}, portanto \cos\theta=\dfrac{3}{x}. Então
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\sqrt{1-\frac{9}{x^{2}}}=\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{|x|}.
Agora calcule \csc\theta-\cot\theta:
\csc\theta-\cot\theta=\frac{1}{\sin\theta}-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}.
Substituindo \cos\theta=\dfrac{3}{x} e \sin\theta=\dfrac{\sqrt{x^{2}-9}}{|x|} obtemos
\csc\theta-\cot\theta=\frac{1-\dfrac{3}{x}}{\dfrac{\sqrt{x^{2}-9}}{|x|}} =\frac{\dfrac{x-3}{x}}{\dfrac{\sqrt{x^{2}-9}}{|x|}} =\frac{x-3}{\sqrt{x^{2}-9}}\cdot\frac{|x|}{x}.
Ao tomar o valor absoluto no logaritmo, o fator \dfrac{|x|}{x} desaparece (fica dentro do valor absoluto), portanto
\bigl|\csc\theta-\cot\theta\bigr|=\frac{|x-3|}{\sqrt{x^{2}-9}}.
Logo
\frac{1}{3}\ln\bigl|\csc\theta-\cot\theta\bigr| =\frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{|x-3|}{\sqrt{x^{2}-9}}\right)+C.
Podemos manipular o logaritmo para obter uma forma mais simples. Note que \sqrt{x^{2}-9}=\sqrt{(x-3)(x+3)}. Assim
\ln\!\left(\frac{|x-3|}{\sqrt{x^{2}-9}}\right) =\ln|x-3|-\tfrac{1}{2}\ln\!\bigl|x^{2}-9\bigr| =\ln|x-3|-\tfrac{1}{2}\bigl(\ln|x-3|+\ln|x+3|\bigr) =\tfrac{1}{2}\ln|x-3|-\tfrac{1}{2}\ln|x+3|.
Multiplicando por \tfrac{1}{3}
\frac{1}{3}\ln\bigl|\csc\theta-\cot\theta\bigr| =\frac{1}{6}\ln|x-3|-\frac{1}{6}\ln|x+3|+C.
Finalmente, juntando os logaritmos,
\boxed{\int \frac{dx}{x^{2}-9}=\frac{1}{6}\ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right|+C.}
(esta é a expressão obtida pelo método trigonométrico).

Passo 6

Método das frações parciais (parte b): escrevemos a função racional como soma de frações simples. Como
\frac{1}{x^{2}-9}=\frac{1}{(x-3)(x+3)},
procuramos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{1}{(x-3)(x+3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}.
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+3) obtemos
1=A(x+3)+B(x-3)=(A+B)x+(3A-3B).
Igualando coeficientes de x e os termos constantes surge o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 3A-3B=1. \end{cases}
Da primeira equação (B=-A]. Substituindo na segunda:
3A-3(-A)=6A=1\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{6},\qquad B=-\tfrac{1}{6}.
Portanto
\frac{1}{x^{2}-9}=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x-3}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x+3}.]

Passo 7

Integrando termo a termo:
\int \frac{dx}{x^{2}-9} =\frac{1}{6}\int \frac{dx}{x-3}-\frac{1}{6}\int \frac{dx}{x+3} =\frac{1}{6}\ln|x-3|-\frac{1}{6}\ln|x+3|+C.
Reagrupando os logaritmos:
\boxed{\int \frac{dx}{x^{2}-9}=\frac{1}{6}\ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right|+C.}
Isto coincide com o resultado obtido pelo método trigonométrico, como esperado.

Resposta

(a) \dfrac{1}{6}\ln\left|\dfrac{x-3}{x+3}\right|+C
(b) \dfrac{1}{6}\ln\left|\dfrac{x-3}{x+3}\right|+C

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