da seguinte forma:
a) Realizando uma substituição trigonométrica.
b) Transformando a função racional em frações parciais. Derive o resultado da integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{d x}{x^{2}-9}
de duas maneiras distintas:
(a) usando uma substituição trigonométrica;
(b) decompondo a função racional em frações parciais e integrando.
Informações dadas: a integranda é \dfrac{1}{x^{2}-9}, que tem fatores quadráticos do tipo diferença de quadrados x^{2}-9=(x-3)(x+3). O objetivo é obter uma primitiva (antiderivada) completa, incluindo a constante de integração.
Passo 2
Ideia da substituição trigonométrica (parte a): para expressões do tipo x^{2}-a^{2} uma escolha padrão é usar x=a\operatorname{sec}\theta, porque \operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta. Aqui a=3. Então fazemos a substituição
x=3\operatorname{sec}\theta.
Agora calculemos dx e x^{2}-9 em função de \theta.
Derivando x em relação a \theta temos
Voltar para a variável x. Da substituição x=3\operatorname{sec}\theta temos \operatorname{sec}\theta=\dfrac{x}{3}, portanto \cos\theta=\dfrac{3}{x}. Então
(esta é a expressão obtida pelo método trigonométrico).
Passo 6
Método das frações parciais (parte b): escrevemos a função racional como soma de frações simples. Como
\frac{1}{x^{2}-9}=\frac{1}{(x-3)(x+3)},
procuramos constantes A\) e \(B\) tais que
\[\frac{1}{(x-3)(x+3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}.
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+3) obtemos
1=A(x+3)+B(x-3)=(A+B)x+(3A-3B).
Igualando coeficientes de x e os termos constantes surge o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 3A-3B=1. \end{cases}
Da primeira equação (B=-A]. Substituindo na segunda: 3A-3(-A)=6A=1\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{6},\qquad B=-\tfrac{1}{6}.
Portanto \frac{1}{x^{2}-9}=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x-3}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x+3}.]