Considere a integral imprópria.
Julgue os itens a seguir.
(I) Se
a integral diverge.
(II) Se
a integral converge.
(III) Se
a integral converge.
(IV) Se
a integral diverge.
Marque a alternativa que indica a quantidade exata de itens VERDADEIROS.
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4
(I) Se
(II) Se
(III) Se
(IV) Se
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que ele pede.
- A integral imprópria dada é
- Os itens a julgar são:
- (I) Se
a integral diverge. - (II) Se
a integral converge. - (III) Se
a integral converge. - (IV) Se
a integral diverge.
- (I) Se
- O objetivo: determinar quantos desses quatro itens são verdadeiros e marcar a alternativa correta entre (a)–(e).
Passo 2
Primeiro reescrevemos a integranda de forma mais simples. Note que
Para facilitar, defina
então a integral fica
Agora precisamos saber para quais valores de
(e portanto de
) essa integral converge. Vou explicar isso passo a passo — é uma ideia clássica: analisar o comportamento do antiderivado quando o limite vai para o infinito.
Passo 3
Calcule o antiderivado (caso
). Para
,
Agora avaliaremos o limite impróprio:
Analise o comportamento de
quando
:
- Se
(isto é, ), então e o limite é finito. Logo a integral converge. - Se
(isto é, ), então e a integral diverge. - Se
, a integranda é e
que diverge quando
.
Conclusão do critério: a integral
converge exatamente quando
. Voltando a
, isso é
Portanto a integral converge se, e somente se,
. Se
a integral diverge.
Passo 4
Agora avalio cada item usando a regra
convergência;
divergência.
-
Item (I):
. Como , a integral converge. O item afirma que diverge. Logo (I) é falso. - Explicação numérica curta: aqui
, então converge.
- Explicação numérica curta: aqui
-
Item (II):
. Como , a integral diverge. O item afirma que converge. Logo (II) é falso. - Aqui
, diverge.
- Aqui
-
Item (III):
. Como , a integral diverge. O item afirma que converge. Logo (III) é falso. - Aqui
, diverge.
- Aqui
-
Item (IV):
. Como , a integral converge. O item afirma que diverge. Logo (IV) é falso. - Aqui
, converge.
- Aqui
Passo 5
Contando os itens verdadeiros: (I) falso, (II) falso, (III) falso, (IV) falso. Portanto a quantidade exata de itens verdadeiros é
.
Resposta
(a) 0