Considere a integral imprópria.
\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{p}} d x
Julgue os itens a seguir.
(I) Se p=\frac{1}{2} a integral diverge.
(II) Se p=3 a integral converge.
(III) Se p=\frac{5}{3} a integral converge.
(IV) Se p=\frac{7}{8} a integral diverge.
Marque a alternativa que indica a quantidade exata de itens VERDADEIROS.
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • A integral imprópria dada é
\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{p}}\,dx.
  • Os itens a julgar são:
    • (I) Se p=\frac{1}{2} a integral diverge.
    • (II) Se p=3 a integral converge.
    • (III) Se p=\frac{5}{3} a integral converge.
    • (IV) Se p=\frac{7}{8} a integral diverge.
  • O objetivo: determinar quantos desses quatro itens são verdadeiros e marcar a alternativa correta entre (a)–(e).

Passo 2

Primeiro reescrevemos a integranda de forma mais simples. Note que
\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{p}} = x^{-\frac{1}{p}}.
Para facilitar, defina
s=\frac{1}{p},
então a integral fica
\int_{1}^{\infty} x^{-s}\,dx.
Agora precisamos saber para quais valores de s (e portanto de p) essa integral converge. Vou explicar isso passo a passo — é uma ideia clássica: analisar o comportamento do antiderivado quando o limite vai para o infinito.

Passo 3

Calcule o antiderivado (caso s\neq 1). Para s\neq 1,
\int x^{-s}\,dx = \frac{x^{1-s}}{1-s} + C.
Agora avaliaremos o limite impróprio:
\int_{1}^{\infty} x^{-s}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b} x^{-s}\,dx = \lim_{b\to\infty}\frac{b^{1-s}-1}{1-s}.
Analise o comportamento de b^{1-s} quando b\to\infty:
  • Se 1-s<0 (isto é, s>1), então b^{1-s}\to 0 e o limite é finito. Logo a integral converge.
  • Se 1-s>0 (isto é, s<1), então b^{1-s}\to\infty e a integral diverge.
  • Se s=1, a integranda é x^{-1} e
\int_{1}^{b} x^{-1}\,dx = \ln b,
que diverge quando b\to\infty.
Conclusão do critério: a integral \int_{1}^{\infty} x^{-s}\,dx converge exatamente quando s>1. Voltando a p, isso é
s=\frac{1}{p}>1 \quad\Longleftrightarrow\quad p<1.
Portanto a integral converge se, e somente se, p<1. Se p\ge 1 a integral diverge.

Passo 4

Agora avalio cada item usando a regra p<1\Rightarrow convergência; p\ge1\Rightarrow divergência.
  • Item (I): p=\frac{1}{2}. Como \frac{1}{2}<1, a integral converge. O item afirma que diverge. Logo (I) é falso.
    • Explicação numérica curta: aqui s=1/p=2>1, então converge.
  • Item (II): p=3. Como 3>1, a integral diverge. O item afirma que converge. Logo (II) é falso.
    • Aqui s=1/3<1, diverge.
  • Item (III): p=\frac{5}{3}. Como \frac{5}{3}>1, a integral diverge. O item afirma que converge. Logo (III) é falso.
    • Aqui s=3/5<1, diverge.
  • Item (IV): p=\frac{7}{8}. Como \frac{7}{8}<1, a integral converge. O item afirma que diverge. Logo (IV) é falso.
    • Aqui s=8/7>1, converge.

Passo 5

Contando os itens verdadeiros: (I) falso, (II) falso, (III) falso, (IV) falso. Portanto a quantidade exata de itens verdadeiros é 0.

Resposta

(a) 0

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