Considere a função de utilidade dada por U(x, y)=\max \{x, y\}, onde x \geq 0 e y \geq 0. Desenha as curvas de nível de U(x, y). Tente (é opcional) interpretar essa utilidade economicamente.

Passo 1

O enunciado dá a função de utilidade
U(x,y)=\max\{x,y\},
com as restrições x\ge 0 e y\ge 0. Pede-se para desenhar as curvas de nível (isto é, os conjuntos de pontos (x,y) que têm a mesma utilidade) e, opcionalmente, interpretar economicamente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A utilidade de um par (x,y) é o maior entre x e y.
  • Os pontos possíveis estão no primeiro quadrante: x\ge0, y\ge0.
  • A tarefa principal: para cada constante k\ge0, caracterizar geometricamente o conjunto \{(x,y)\mid U(x,y)=k\}.

Passo 2

Definição prática do que vamos desenhar: uma curva de nível (ou de indiferença para utilidade) para o valor k é o conjunto de pontos que satisfazem
U(x,y)=k.
Vou explicar o que significa \max\{x,y\}=k. Por definição de máximo:
\max\{x,y\}=k \quad\Longleftrightarrow\quad \text{(i) } x\le k,\; y\le k\\ \text{ e (ii) } (x=k\\ \text{ou}\\ y=k).
Ou seja, pelo menos uma das coordenadas é igual a k e a outra não ultrapassa k.

Passo 3

Converter essa definição em descrições simples dos pontos:
  • Se x=k e y\le k, então \max\{x,y\}=k.
  • Se y=k e x\le k, então \max\{x,y\}=k.
Portanto, para cada k\ge0 o conjunto \{(x,y)\mid U(x,y)=k\} é a união de dois segmentos:
\{(x,y)\mid x=k,\;0\le y\le k\}\quad\text{e}\quad \{(x,y)\mid y=k,\;0\le x\le k\}.
Esses dois segmentos se encontram no ponto (k,k).

Passo 4

Descrição geométrica direta (como desenhar): para um dado k>0
  • desenhe o segmento horizontal que vai de (0,k) até (k,k);
  • desenhe o segmento vertical que vai de (k,0) até (k,k).
    O conjunto formado por esses dois segmentos tem forma de “L” com o canto no ponto (k,k). Para k=0 o conjunto reduz-se ao ponto (0,0).
Exemplo concreto (para fixar a imagem): se k=2, os pontos com U(x,y)=2 incluem (0,2),(1,2),(2,2),(2,1),(2,0). Esses pontos formam um “L” nas coordenadas indicadas.

Passo 5

Comportamento da família de curvas ao variar k:
  • Para k crescente, o “L” desloca-se para fora (longe da origem). Assim as curvas de nível são uma família de “L” concêntricos (uma família ordenada por k).
  • O conjunto de pontos com U(x,y)\le k é o quadrado fechado [0,k]\times[0,k].
  • O conjunto de pontos com U(x,y)\ge k é a união das regiões \{x\ge k\}\cup\{y\ge k\} dentro do primeiro quadrante.

Passo 6

Observações úteis para uma prova (características e consequências):
  • As curvas de nível são lineares por pedaços (segmentos) — não são curvas suaves.
  • As “superioridades” (conjuntos \{U\ge k\}) não são convexas: por exemplo, os pontos (k,0) e (0,k) têm utilidade k, mas a média \big(\tfrac{k}{2},\tfrac{k}{2}\big) tem utilidade \tfrac{k}{2}<k. Isso mostra que as preferências induzidas por U não são convexas.
  • A taxa marginal de substituição (MRS) é degenerate: ao longo do segmento horizontal y=k (com x<k) aumentar x não muda U (MRS zero aí, porque utilidade fixa por variar x até chegar em x=k); ao longo do segmento vertical x=k (com y<k) aumentar y também não muda U. Somente mover-se para fora do “L” (aumentar coordenada que já é a máxima) pode aumentar a utilidade.
  • Intuição econômica opcional e simples: o consumidor avalia o par (x,y) pela melhor das duas quantidades — interessa-lhe apenas a maior das duas. Um cenário interpretativo: o consumidor tem dois bens alternativos onde só importa o que ele tem em maior quantidade (por exemplo, se só usa o melhor entre dois substitutos perfeitos em que só o maior estoque importa). Assim, ter ambos moderadamente não é tão bom quanto ter um bem muito grande e o outro pequeno; melhorar o bem que já é menor nem sempre aumenta a utilidade até que ele ultrapasse o outro.

Passo 7

Resumo visual prático para desenhar no caderno de prova:
  • Trace os eixos x e y (apenas primeiro quadrante).
  • Para cada nível k que quiser desenhar, marque o ponto (k,k) e desenhe a barra horizontal de (0,k) a (k,k) e a barra vertical de (k,0) a (k,k). Repita para alguns k (por exemplo k=1,2,3) para ver a família de “L” deslocando-se para fora.

Resposta

Para cada k\ge 0, a curva de nível \{(x,y)\mid U(x,y)=k\} é
\{(x,y)\mid x=k,\;0\le y\le k\}\\ \cup\\ \{(x,y)\mid y=k,\;0\le x\le k\}.

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