Considere a função de utilidade dada por
, onde
e
. Desenha as curvas de nível de
. Tente (é opcional) interpretar essa utilidade economicamente.
Passo 1
O enunciado dá a função de utilidade
com as restrições
e
. Pede-se para desenhar as curvas de nível (isto é, os conjuntos de pontos
que têm a mesma utilidade) e, opcionalmente, interpretar economicamente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A utilidade de um par
é o maior entre e . - Os pontos possíveis estão no primeiro quadrante:
, . - A tarefa principal: para cada constante
, caracterizar geometricamente o conjunto .
Passo 2
Definição prática do que vamos desenhar: uma curva de nível (ou de indiferença para utilidade) para o valor
é o conjunto de pontos que satisfazem
Vou explicar o que significa
. Por definição de máximo:
Ou seja, pelo menos uma das coordenadas é igual a
e a outra não ultrapassa
.
Passo 3
Converter essa definição em descrições simples dos pontos:
- Se
e , então . - Se
e , então .
Portanto, para cada
o conjunto
é a união de dois segmentos:
Esses dois segmentos se encontram no ponto
.
Passo 4
Descrição geométrica direta (como desenhar): para um dado
- desenhe o segmento horizontal que vai de
até ; - desenhe o segmento vertical que vai de
até .
O conjunto formado por esses dois segmentos tem forma de “L” com o canto no ponto. Para o conjunto reduz-se ao ponto .
Exemplo concreto (para fixar a imagem): se
, os pontos com
incluem
. Esses pontos formam um “L” nas coordenadas indicadas.
Passo 5
Comportamento da família de curvas ao variar
:
- Para
crescente, o “L” desloca-se para fora (longe da origem). Assim as curvas de nível são uma família de “L” concêntricos (uma família ordenada por ). - O conjunto de pontos com
é o quadrado fechado . - O conjunto de pontos com
é a união das regiões dentro do primeiro quadrante.
Passo 6
Observações úteis para uma prova (características e consequências):
- As curvas de nível são lineares por pedaços (segmentos) — não são curvas suaves.
- As “superioridades” (conjuntos
) não são convexas: por exemplo, os pontos e têm utilidade , mas a média tem utilidade . Isso mostra que as preferências induzidas por não são convexas. - A taxa marginal de substituição (MRS) é degenerate: ao longo do segmento horizontal
(com ) aumentar não muda (MRS zero aí, porque utilidade fixa por variar até chegar em ); ao longo do segmento vertical (com ) aumentar também não muda . Somente mover-se para fora do “L” (aumentar coordenada que já é a máxima) pode aumentar a utilidade. - Intuição econômica opcional e simples: o consumidor avalia o par
pela melhor das duas quantidades — interessa-lhe apenas a maior das duas. Um cenário interpretativo: o consumidor tem dois bens alternativos onde só importa o que ele tem em maior quantidade (por exemplo, se só usa o melhor entre dois substitutos perfeitos em que só o maior estoque importa). Assim, ter ambos moderadamente não é tão bom quanto ter um bem muito grande e o outro pequeno; melhorar o bem que já é menor nem sempre aumenta a utilidade até que ele ultrapasse o outro.
Passo 7
Resumo visual prático para desenhar no caderno de prova:
- Trace os eixos
e (apenas primeiro quadrante). - Para cada nível
que quiser desenhar, marque o ponto e desenhe a barra horizontal de a e a barra vertical de a . Repita para alguns (por exemplo ) para ver a família de “L” deslocando-se para fora.
Resposta
Para cada
, a curva de nível
é