Considere um classificador logístico com duas variáveis de entrada
e
. A probabilidade de um ponto pertencer à classe 1 é dada por
onde
são os pesos do modelo e
é o viés.
Suponha que a regra de classificação seja a seguinte: o ponto é classificado como classe 1 se
e como classe 0 caso contrário.
a) Mostre que, para qualquer constante
, a curva de nível definida por
é uma reta no plano
.
b) Mostre que a fronteira de decisão do classificador logístico (isto é, o conjunto de pontos para os quais
) é dada por uma equação linear em
e
.
c) Considere agora o modelo com parâmetros
Acha a classe prevista do modelo para o ponto
.
Suponha que a regra de classificação seja a seguinte: o ponto é classificado como classe 1 se
a) Mostre que, para qualquer constante
b) Mostre que a fronteira de decisão do classificador logístico (isto é, o conjunto de pontos para os quais
c) Considere agora o modelo com parâmetros
Passo 1
O enunciado dá a função de probabilidade do classificador logístico e pede três coisas:
- Dados: a probabilidade
os parâmetros
e
, e a regra de classificação: classificar como classe 1 se
e como classe 0 caso contrário.
- Pergunta (a): mostrar que, para qualquer constante
, a curva de nível é uma reta no plano . - Pergunta (b): mostrar que a fronteira de decisão (onde
) é dada por uma equação linear em e . - Pergunta (c): com
, , , determinar a classe prevista para o ponto .
Passo 2
Primeiro vamos escrever uma notação curta. Defina
A função logística é então
Queremos caracterizar o conjunto
para um dado
. Começamos resolvendo a equação
em termos de
. Desenvolvendo algebricamente:
Passo 3
Agora aplicamos logaritmo natural para isolar
. Como
para
, o logaritmo está bem definido:
Substituindo
obtemos a equação que caracteriza a curva de nível:
Passo 4
Interprete a equação encontrada. A expressão
é, por definição, a equação de uma reta no plano
(se
e
não são ambos zero). Portanto, para qualquer
a curva de nível
é uma reta. Isso responde (a).
Passo 5
Agora especializamos para a fronteira de decisão, que corresponde a
. Calcule a constante do passo anterior:
Logo a fronteira de decisão é dada por
que é uma equação linear em
. Isso responde (b).
Passo 6
Passando para o item (c), com os parâmetros fornecidos:
calcule
no ponto
:
Passo 7
Com
, a probabilidade
vale
A regra de classificação é: classificar como classe 1 se
, caso contrário classe 0. (A conclusão final sobre qual classe é apresentada na seção de resposta abaixo.)
Resposta
a)
b)
c) Classe
.