Considere a integral real abaixo e resolva EXCLUSIVAMENTE por meio do Teorema dos Resíduos de Cauchy (TRC), apresentando todos os passos do procedimento. A ausência de explicação detalhada em qualquer etapa implicará a perda proporcional de pontuação nesta questão.
\quad \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+9\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral imprópria real
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+9\right)}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função integranda é \dfrac{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+9)}.
  • O domínio de integração é toda a reta real, de -\infty a +\infty.
  • A função raciona tem polos nos pontos onde x^{2}+1=0 e x^{2}+9=0; em termos complexos, os polos são z=\pm i e z=\pm 3i.
  • A integral é imprópria devido aos limites infinitos; é necessário justificar convergência e calcular o valor numérico.

Passo 2

Estendemos a função para o plano complexo definindo
f(z)=\frac{1}{(z^{2}+1)(z^{2}+9)}=\frac{1}{(z-i)(z+i)(z-3i)(z+3i)},
onde z\in\mathbb{C}. Vamos integrar f sobre o contorno formado pela união do segmento real [-R,R] e do semicírculo \Gamma_R de raio R no semiplano superior, com orientação contrária aos ponteiros do relógio (contorno positivo). Denotemos esse contorno por C_R. Em seguida faremos R\to\infty.
Observação sobre polos e quais ficam dentro do contorno: entre os polos \pm i e \pm 3i, somente z=i e z=3i pertencem ao semiplano superior e, para R>3, estão dentro de C_R.

Passo 3

Enunciado do Teorema dos Resíduos (forma usada aqui):
Se f é meromorfa em e dentro de um contorno fechado simples C_R e tem apenas um número finito de polos z_k dentro de C_R, então
\oint_{C_R} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k} \operatorname{Res}(f; z_k),
onde \operatorname{Res}(f; z_k) são os resíduos de f nos polos interiores.
Para aplicar o teorema e concluir que a integral ao longo da reta real é dada por 2\pi i vezes a soma dos resíduos no semiplano superior, é necessário mostrar que a contribuição do semicírculo \Gamma_R tende a zero quando R\to\infty. Fazemos a estimativa a seguir.
Estimativa do integral sobre \Gamma_R. Para z no semicírculo \Gamma_R com |z|=R>3 vale
|z^{2}+1|\ge R^{2}-1,\qquad |z^{2}+9|\ge R^{2}-9,
portanto
|f(z)|=\frac{1}{|z^{2}+1||z^{2}+9|}\le\frac{1}{(R^{2}-1)(R^{2}-9)}.
O comprimento de \Gamma_R é \pi R. Assim, pelo estimador da integral,
\left|\int_{\Gamma_R} f(z)\,dz\right|\le \pi R\cdot \frac{1}{(R^{2}-1)(R^{2}-9)}.
O lado direito tende a 0 quando R\to\infty (comportamento assintótico \sim \pi R/R^{4}=\pi/R^{3}). Logo a contribuição do semicírculo se anula no limite.
Consequência: tomando R\to\infty,
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 2\pi i \sum_{\substack{\text{polos }z_k\\\ \Im z_k>0}} \operatorname{Res}(f; z_k),
isto é, a integral real é 2\pi i vezes a soma dos resíduos em z=i e z=3i.

Passo 4

Explicação sobre cálculo de resíduo em polo simples (fórmula usada): se z_0 é um polo simples de f, então
\operatorname{Res}(f; z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z).
No nosso caso os polos em z=i e z=3i são simples, pois cada fator linear aparece uma vez no denominador. Usaremos a fórmula direta de avaliação do limite substituindo z=z_0 depois de cancelar o fator (z-z_0).

Passo 5

Cálculo do resíduo em z=i.
Aplicando a fórmula do polo simples,
\operatorname{Res}(f;i)=\lim_{z\to i}(z-i)\frac{1}{(z-i)(z+i)(z-3i)(z+3i)} =\frac{1}{(i+i)(i-3i)(i+3i)}.
Agora calculamos cada fator:
i+i=2i,\qquad i-3i=-2i,\qquad i+3i=4i.
Produto dos denominadores:
(2i)\cdot(-2i)\cdot(4i)=2\cdot(-2)\cdot4\cdot i^{3}=(-16)\,i^{3}.
Como i^{2}=-1 e i^{3}=-i, segue (-16)i^{3}=(-16)(-i)=16i. Portanto
\operatorname{Res}(f;i)=\frac{1}{16i}.

Passo 6

Cálculo do resíduo em z=3i.
Usando a fórmula do polo simples,
\operatorname{Res}(f;3i)=\lim_{z\to 3i}(z-3i)\frac{1}{(z-i)(z+i)(z-3i)(z+3i)} =\frac{1}{(3i-i)(3i+i)(3i+3i)}.
Calculando os fatores:
3i-i=2i,\qquad 3i+i=4i,\qquad 3i+3i=6i.
Produto:
(2i)\cdot(4i)\cdot(6i)=2\cdot4\cdot6\cdot i^{3}=48\,i^{3}.
Novamente i^{3}=-i, logo 48\,i^{3}=48(-i)=-48i. Assim
\operatorname{Res}(f;3i)=\frac{1}{-48i}=-\frac{1}{48i}.

Passo 7

Somamos os resíduos no semiplano superior:
\operatorname{Res}(f;i)+\operatorname{Res}(f;3i)=\frac{1}{16i}-\frac{1}{48i}.
Colocando em denominação comum 48i:
\frac{3}{48i}-\frac{1}{48i}=\frac{2}{48i}=\frac{1}{24i}.
Pelo teorema dos resíduos, a integral real é
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+9)}\,dx = 2\pi i \cdot \frac{1}{24i}.
Simplificando:
2\pi i\cdot\frac{1}{24i}=\frac{2\pi}{24}=\frac{\pi}{12}.

Passo 8

Verificação final rápida da convergência: a integranda comporta-se como 1/x^{4} para |x|\to\infty, logo a integral impropra absoluta converge; a aplicação do contorno e o aniquilamento da parte semicircular são justificados pela estimativa já apresentada.
Conclusão: o valor da integral é \dfrac{\pi}{12}.

Resposta

\dfrac{\pi}{12}

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