Considere a integral real abaixo e resolva EXCLUSIVAMENTE por meio do Teorema dos Resíduos de Cauchy (TRC), apresentando todos os passos do procedimento. A ausência de explicação detalhada em qualquer etapa implicará a perda proporcional de pontuação nesta questão. \quad \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+9\right)} d x
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral imprópria real
onde z\in\mathbb{C}. Vamos integrar f sobre o contorno formado pela união do segmento real [-R,R] e do semicírculo \Gamma_R de raio R no semiplano superior, com orientação contrária aos ponteiros do relógio (contorno positivo). Denotemos esse contorno por C_R. Em seguida faremos R\to\infty.
Observação sobre polos e quais ficam dentro do contorno: entre os polos \pm i e \pm 3i, somente z=i e z=3i pertencem ao semiplano superior e, para R>3, estão dentro de C_R.
Passo 3
Enunciado do Teorema dos Resíduos (forma usada aqui):
Se f é meromorfa em e dentro de um contorno fechado simples C_R e tem apenas um número finito de polos z_k dentro de C_R, então
\oint_{C_R} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k} \operatorname{Res}(f; z_k),
onde \operatorname{Res}(f; z_k) são os resíduos de f nos polos interiores.
Para aplicar o teorema e concluir que a integral ao longo da reta real é dada por 2\pi i vezes a soma dos resíduos no semiplano superior, é necessário mostrar que a contribuição do semicírculo \Gamma_R tende a zero quando R\to\infty. Fazemos a estimativa a seguir.
Estimativa do integral sobre \Gamma_R. Para z no semicírculo \Gamma_R com |z|=R>3 vale
O lado direito tende a 0 quando R\to\infty (comportamento assintótico \sim \pi R/R^{4}=\pi/R^{3}). Logo a contribuição do semicírculo se anula no limite.
No nosso caso os polos em z=i e z=3i são simples, pois cada fator linear aparece uma vez no denominador. Usaremos a fórmula direta de avaliação do limite substituindo z=z_0 depois de cancelar o fator (z-z_0).
Verificação final rápida da convergência: a integranda comporta-se como 1/x^{4} para |x|\to\infty, logo a integral impropra absoluta converge; a aplicação do contorno e o aniquilamento da parte semicircular são justificados pela estimativa já apresentada.