\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede calcular o limite quando x tende a -\infty da função racional
\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}.
  • Informação dada: numerador e denominador são polinômios de grau 2 (ambos têm termo líder x^{2}).

Passo 2

Intuição e ideia do método (explicada passo a passo, sem pular etapas).
  • Quando x tende a -\infty isso significa que x fica muito negativo em valor absoluto grande; o comportamento das potências de x é: x^{2} cresce para +\infty (pois o quadrado é sempre positivo), x tende a -\infty, e assim por diante.
  • Em funções racionais como \dfrac{\text{polinômio de grau }n}{\text{polinômio de grau }m}ôô, os termos de maior grau dominam o comportamento para |x| grande. Aqui ambos têm grau 2, então os termos x^{2} do numerador e do denominador vão ser os que importam.
  • Uma maneira algébrica e segura de ver isso é dividir numerador e denominador por x^{2} (o maior grau), que reduz a expressão a termos que tendem a constantes quando |x|\to\infty.

Passo 3

Dividir numerador e denominador por x^{2} e reescrever a expressão.
\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3} = \frac{\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}-3}{x^{2}}} = \frac{1+\dfrac{1}{x^{2}}}{1-\dfrac{3}{x^{2}}}.
Expliquei cada passo: \dfrac{x^{2}}{x^{2}}=1, \dfrac{1}{x^{2}} fica como está; idem no denominador com -3/x^{2}.

Passo 4

Calcular os limites das partes que aparecem ao dividir por x^{2}.
  • Para x\to -\infty vale \,x^{2}\to +\infty, então
\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x^{2}} = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to -\infty}\dfrac{3}{x^{2}} = 0.
Argumento simples: se x^{2} vai para infinito, seu inverso vai para zero.

Passo 5

Aplicar esses limites na expressão reescrita e concluir.
\lim_{x\to -\infty}\frac{1+\dfrac{1}{x^{2}}}{1-\dfrac{3}{x^{2}}} = \frac{1+0}{1-0} = 1.
Portanto o limite pedido é 1.

Passo 6

Comentário didático rápido e exemplo extra (para fixar a ideia).
  • Regra prática: se você tiver \dfrac{a_n x^{n}+\cdots}{b_n x^{n}+\cdots} com mesmos graus n, o limite em \pm\infty é \dfrac{a_n}{b_n} (razão dos coeficientes líderes). Aqui a_n=b_n=1, logo 1.
  • Exemplo extra: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}+5x-1}{2x^{2}-7}=\frac{3}{2} usando a mesma ideia (dividir por x^{2} ou pegar coeficientes líderes).
Força aí — essa técnica aparece muito em prova e é rápida de aplicar.

Resposta

1

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