Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
.
Informações que temos do enunciado:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - A variável tende para
, ou seja .
Observação importante (sem resolver ainda): ao substituir
tanto o numerador quanto o denominador ficam iguais a
, portanto a forma é uma indeterminação do tipo
.
Passo 2
Verificação da indeterminação (mostrar que vale
):
- Numerador:
- Denominador:
Logo temos a forma indeterminada
. Quando isso ocorre, podemos usar critérios como a Regra de L’Hôpital (se as hipóteses forem satisfeitas) ou desenvolver as séries/Taylor das funções. Vou aplicar a Regra de L’Hôpital porque é curta e direta aqui; depois eu mostro a verificação via séries como aula extra.
Passo 3
Enunciado da Regra de L’Hôpital (versão usada): se
e
são funções diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto talvez em
), e
, e se
existe finito, então
Aqui podemos tomar
e
. Ambas são diferenciáveis perto de
, portanto as hipóteses da regra estão satisfeitas.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital: calcular as derivadas
e
.
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Pelo L’Hôpital,
Agora simplificamos essa expressão para poder calcular o limite. Observe que ambos numerador e denominador têm fator
; escrevemos:
Tomando o limite
e lembrando que
e que
, obtemos
Passo 5
Verificação alternativa (série de Taylor) — aula rápida sobre como usar séries para limites:
-
Fórmula básica: para
pequeno, .
Aqui usamos, então -
Outra fórmula: para
pequeno, .
Assim
Dividindo as expansões:
Ao fazer
vemos que o termo dominante dá
confirmando o resultado obtido com L’Hôpital.
Passo 6
Conclusão final: o limite existe e vale
. Força aí — essa técnica (usar L’Hôpital ou séries) aparece bastante em provas; prefira L’Hôpital quando a diferenciação for direta, e séries quando quiser ver a expansão mais detalhada.