A espira é formada por uma semicircunferência de raio R, dois quartos de circunferência de raio R / 2 cada uma e três segmentos retilíneos. Qual é o módulo, direção e sentido do campo magnético no centro comum dos arcos de circunferência? Considere o sistema de coordenadas tradicional, com +x para a direita, +y para acima e+z saindo da folha.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma espira formada por diferentes partes: uma semicircunferência de raio $ R $, dois quartos de circunferência de raio $ \frac{R}{2} $ cada e três segmentos retilíneos. Nosso objetivo é encontrar o módulo, a direção e o sentido do campo magnético no ponto central onde esses arcos se encontram. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como cada parte da espira contribui para o campo magnético no ponto central. A lei de Biot-Savart nos diz que o campo magnético $ \mathbf{B} $ gerado por um elemento de corrente $ I $ é dado por:
B
Onde:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade magnética do vácuo,
  • $ I $ é a corrente elétrica,
  • $ d\mathbf{l} $ é um elemento infinitesimal do caminho da corrente,
  • $ \mathbf{\hat{r}} $ é o vetor unitário que aponta do elemento de corrente até o ponto onde estamos calculando o campo,
  • $ r $ é a distância entre $ d\mathbf{l} $ e o ponto.
No nosso caso, vamos considerar que a corrente está fluindo na espira e calcular o campo resultante no centro comum dos arcos.

Passo 3

Vamos analisar cada parte da espira separadamente:
  1. Semicircunferência de raio $ R $:
    Para uma semicircunferência, o campo magnético no centro é perpendicular ao plano da semicircunferência. A fórmula para o campo magnético de uma semicircunferência é:
    R
    A direção será ao longo do eixo $ z $, dependendo do sentido da corrente.
  2. Dois quartos de circunferência de raio $ \frac{R}{2} $:
    Cada quarto de circunferência contribui com um campo magnético menor devido ao menor raio. A fórmula para um quarto de circunferência é:
    Bsemi = mu0 I4R
    Como temos dois quartos, o campo total dessas partes será:
    z
    A direção também será ao longo do eixo $ z $.
  3. Três segmentos retilíneos:
    Para segmentos de reta que passam pelo centro, o campo magnético no centro devido a cada segmento retilíneo é zero, pois a simetria faz com que os campos se anulem.

Passo 4

Agora, somamos as contribuições de todas as partes da espira:
Btotal = Bsemi + Bquart total = mu0 I4R + mu0 I2R = 3mu0 I4R

Passo 5

Determinar a direção e o sentido do campo magnético. Utilizando a regra da mão direita, se a corrente circula no sentido anti-horário visto de cima, o campo magnético resultante será na direção positiva de $ z $ (saindo da folha). Se a corrente for no sentido horário, o campo será na direção negativa de $ z $ (entrando na folha).

Resposta

O campo magnético no centro comum dos arcos de circunferência tem módulo igual a $ \frac{3\mu_0 I}{4R} $, é direcionado ao longo do eixo $ z $ e seu sentido depende do sentido da corrente: se a corrente circula anti-horário, o campo é para $ +z $; se circula horário, é para $ -z $.

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