A espira é formada por uma semicircunferência de raio
, dois quartos de circunferência de raio
cada uma e três segmentos retilíneos. Qual é o módulo, direção e sentido do campo magnético no centro comum dos arcos de circunferência? Considere o sistema de coordenadas tradicional, com
para a direita,
para acima
saindo da folha.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma espira formada por diferentes partes: uma semicircunferência de raio $ R $, dois quartos de circunferência de raio $ \frac{R}{2} $ cada e três segmentos retilíneos. Nosso objetivo é encontrar o módulo, a direção e o sentido do campo magnético no ponto central onde esses arcos se encontram. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por correntes elétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como cada parte da espira contribui para o campo magnético no ponto central. A lei de Biot-Savart nos diz que o campo magnético $ \mathbf{B} $ gerado por um elemento de corrente $ I $ é dado por:
Onde:
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade magnética do vácuo,
- $ I $ é a corrente elétrica,
- $ d\mathbf{l} $ é um elemento infinitesimal do caminho da corrente,
- $ \mathbf{\hat{r}} $ é o vetor unitário que aponta do elemento de corrente até o ponto onde estamos calculando o campo,
- $ r $ é a distância entre $ d\mathbf{l} $ e o ponto.
No nosso caso, vamos considerar que a corrente está fluindo na espira e calcular o campo resultante no centro comum dos arcos.
Passo 3
Vamos analisar cada parte da espira separadamente:
-
Semicircunferência de raio $ R $:
Para uma semicircunferência, o campo magnético no centro é perpendicular ao plano da semicircunferência. A fórmula para o campo magnético de uma semicircunferência é:A direção será ao longo do eixo $ z $, dependendo do sentido da corrente. -
Dois quartos de circunferência de raio $ \frac{R}{2} $:
Cada quarto de circunferência contribui com um campo magnético menor devido ao menor raio. A fórmula para um quarto de circunferência é:Como temos dois quartos, o campo total dessas partes será:A direção também será ao longo do eixo $ z $. -
Três segmentos retilíneos:
Para segmentos de reta que passam pelo centro, o campo magnético no centro devido a cada segmento retilíneo é zero, pois a simetria faz com que os campos se anulem.
Passo 4
Agora, somamos as contribuições de todas as partes da espira:
Passo 5
Determinar a direção e o sentido do campo magnético. Utilizando a regra da mão direita, se a corrente circula no sentido anti-horário visto de cima, o campo magnético resultante será na direção positiva de $ z $ (saindo da folha). Se a corrente for no sentido horário, o campo será na direção negativa de $ z $ (entrando na folha).
Resposta
O campo magnético no centro comum dos arcos de circunferência tem módulo igual a $ \frac{3\mu_0 I}{4R} $, é direcionado ao longo do eixo $ z $ e seu sentido depende do sentido da corrente: se a corrente circula anti-horário, o campo é para $ +z $; se circula horário, é para $ -z $.