Demonstre que para um dado um vetor unitário
formando um ângulo
com o eixo
e
com o eixo
, ou seja
, temos:
Verifique ainda que:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores do operador de spin na direção
. O conteúdo envolve as matrizes de Pauli
e a resolução de um problema de autovalor para um sistema de duas dimensões.
Passo 2
Primeiro escrevemos o operador
em forma matricial na base
, usando
Passo 3
Para achar os autovalores resolvemos o determinante
que dá
Logo os autovalores são
e
.
Passo 4
Para
resolvemos o sistema
Da primeira equação vem
Escolhendo a normalização
, temos
. Assim
Passo 5
Para
resolvemos
que leva a
Escolhendo
, obtemos
e
Passo 6
Finalmente verificamos a ortonormalidade usando
e
: todos os quadrados de cosseno e seno somam 1 e os termos cruzados com fases se cancelam, dando
e
.
Resposta
Os estados próprios normalizados são
possuindo autovalores
e
, respectivamente, e satisfazendo