Demonstre que para um dado um vetor unitário n formando um ângulo beta com o eixo z e alpha com o eixo x, ou seja n=(sin beta cos alpha, sin beta sin alpha, cos beta), temos:
r sigma cdot n|sigma cdot n, pmrang<== pm|sigma cdot n, pmrang<= |sigma cdot n,+rang<==cos (beta2)|+rang<=+e^i alpha sin (beta2)|-rang<= |sigma cdot n,-rang<==sin (beta2)|-rang<=-e^i alpha cos (beta2)|-rang<=
Verifique ainda que:
& lang<=sigma cdot n,+mid sigma cdot n,+rang<==lang<=sigma cdot n,-mid sigma cdot n,-rang<==1 & lang<=sigma cdot n,+mid sigma cdot n,-rang<==lang<=sigma cdot n,-mid sigma cdot n,+rang<==0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores do operador de spin na direção n=(sinbetacosalpha,,sinbetasinalpha,,cosbeta). O conteúdo envolve as matrizes de Pauli sigmax,sigmay,sigmaz e a resolução de um problema de autovalor para um sistema de duas dimensões.

Passo 2

Primeiro escrevemos o operador sigmacdotn em forma matricial na base |+rang<=,| -rang<=, usando
sigmacdotn=sinbetacosalpha,sigmax+sinbetasinalpha,sigmay+cosbeta,sigmaz = cosbeta & sinbeta,e^-ialpha sinbeta,e^ialpha & -cosbeta

Passo 3

Para achar os autovalores resolvemos o determinante
detl(sigmacdotn-lambda Ir)=0
que dá
(cosbeta-lambda)(-cosbeta-lambda)-sin^2beta=lambda^2-1=0
Logo os autovalores são lambda=+1 e lambda=-1.

Passo 4

Para lambda=+1 resolvemos o sistema
(cosbeta-1)a+sinbeta,e^-ialphab=0 , sinbeta,e^ialphaa+(-cosbeta-1)b=0
Da primeira equação vem
b=(1-cosbeta)/sinbeta,e^ialphaa=tanbeta2,e^ialphaa
Escolhendo a normalização a=cos(beta2), temos b=sin(beta2)e^ialpha. Assim
|sigmacdotn,+rang<==costfracbeta2|+rang<=+e^ialphasintfracbeta2|-rang<=

Passo 5

Para lambda=-1 resolvemos
(cosbeta+1)a+sinbeta,e^-ialphab=0
que leva a
b=-(cosbeta+1)/sinbeta,e^ialphaa=-cottfracbeta2,e^ialphaa
Escolhendo a=sin(tfracbeta2), obtemos b=-cos(tfracbeta2)e^ialpha e
|sigmacdotn,-rang<==sintfracbeta2|+rang<=-e^ialphacostfracbeta2|-rang<=

Passo 6

Finalmente verificamos a ortonormalidade usando lang<=+|+rang<==lang<=-| -rang<==1 e lang<=+| -rang<==0: todos os quadrados de cosseno e seno somam 1 e os termos cruzados com fases se cancelam, dando
lang<=sigmacdotn,pmmidsigmacdotn,pmrang<==1 e lang<=sigmacdotn,+midsigmacdotn,-rang<==0.

Resposta

Os estados próprios normalizados são
|sigmacdotn,+rang<==costfracbeta2|+rang<=+e^ialphasintfracbeta2|-rang<=,
|sigmacdotn,-rang<==sintfracbeta2|+rang<=-e^ialphacostfracbeta2|-rang<=,
possuindo autovalores +1 e -1, respectivamente, e satisfazendo
lang<=sigmacdotn,pmmidsigmacdotn,pmrang<==1, lang<=sigmacdotn,+midsigmacdotn,-rang<==0

Exercícios relacionados