Suponha que uma matriz 2 times 2 M seja escrita na forma abaixo:
M=a0+i sigma cdot a
sendo a0 um número, a0 as matrizes de Pauli e a um vetor no espaço tridimensional.
a) Determine a relação entre ak e k, onde o índice k=x, y, z=1,2,3 representa Tr(M), e os traços a0 e Mi j. Lembre-se que o traço de uma matriz corresponde à soma dos elementos da diagonal principal.
b) Obtenha M e a em termos dos elementos da matriz .

Passo 1

Somos dados uma matriz 2×2 decompondo em base identidade e matrizes de Pauli, ou seja
M = a₀ I + i a·σ
O conteúdo aqui é decomposição de matriz em base ortonormal de operadores e vamos precisar usar propriedades de traço e as identidades das matrizes de Pauli.

Passo 2

Primeiro, calculamos o traço de M. Como e , temos:
Portanto .

Passo 3

Agora, calculamos . Usando a linearidade do traço e junto com , obtemos:
Isolando tr(σk M)

Passo 4

Por fim, escrevemos tudo em termos dos elementos Mij. Para M = (M_{ij}), basta usar cada σ_k:
• Para k=x: σ_x = [[0,1],[1,0]] então e
tr(σx M)=M12+M21.
• Para k=y: σ_y = [[0,-i],[i,0]] então e
ax=tfracM12+M212i.
• Para k=z: σ_z = [[1,0],[0,-1]] então e
tr(σy M)=-iM21+iM12.

Resposta

Exercícios relacionados