Suponha que uma matriz
seja escrita na forma abaixo:
sendo
um número,
as matrizes de Pauli e a um vetor no espaço tridimensional.
a) Determine a relação entre
e
, onde o índice
representa
, e os traços
e
. Lembre-se que o traço de uma matriz corresponde à soma dos elementos da diagonal principal.
b) Obtenha
e a em termos dos elementos
da matriz
.
a) Determine a relação entre
b) Obtenha
Passo 1
Somos dados uma matriz 2×2 decompondo em base identidade e matrizes de Pauli, ou seja
M = a₀ I + i a·σ
O conteúdo aqui é decomposição de matriz em base ortonormal de operadores e vamos precisar usar propriedades de traço e as identidades das matrizes de Pauli.
Passo 2
Primeiro, calculamos o traço de M. Como e , temos:
Portanto .
Passo 3
Agora, calculamos . Usando a linearidade do traço e junto com , obtemos:
Isolando
dá
Passo 4
Por fim, escrevemos tudo em termos dos elementos
. Para M = (M_{ij}), basta usar cada σ_k:
• Para k=x: σ_x = [[0,1],[1,0]] então e
.
• Para k=x: σ_x = [[0,1],[1,0]] então e
• Para k=y: σ_y = [[0,-i],[i,0]] então e
.
• Para k=z: σ_z = [[1,0],[0,-1]] então e
.