Vapor superaquecido a 300^{\circ} \mathrm{C} e 1,0 \mathrm{~atm} é necessário para alimentar um trocador de calor. Pa produzir esta corrente usa-se uma descarga de uma turbina que é vapor saturado a 1,0atm, q é misturado a uma corrente de vapor superaquecido a 400^{\circ} \mathrm{C} e 1,0 \mathrm{~atm}. A unidade de mistura ope adiabaticamente. Calcular a quantidade de vapor superaquecido produzido e a vazão volumétri necessária da segunda fonte de vapor.
\begin{array}{l|l} \xrightarrow{1.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}} & \\\ \begin{array}{l} \text { saturado } \\\\ 1 \mathrm{~atm} \quad 100^{\circ} \mathrm{C} \\\ \vec{H}=2.676 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \end{array} & \mathrm{M} \\\ \xrightarrow{1 \mathrm{~atm} \quad 400^{\circ} \mathrm{C}} \\\ \vec{H}=3.278 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \end{array} \quad \xrightarrow{\dot{\mathrm{~m}}_{2}}

Passo 1

O enunciado pede que se obtenha (1) a quantidade (vazão mássica) de vapor superaquecido produzido a 300^\circ\mathrm{C} e 1,0\\ \mathrm{atm} e (2) a vazão volumétrica necessária da fonte de vapor a 400^\circ\mathrm{C} e 1,0\\ \mathrm{atm}. As informações fornecidas são:
\begin{aligned} &\text{Corrente 1 (saturado, descarga de turbina):}\quad \dot m_1=1{,}000\\ \mathrm{kg/h},\\\ &\qquad\text{condição: }1{,}0\\ \mathrm{atm},\;100^\circ\mathrm{C},\quad h_1=2\,676\\ \mathrm{kJ/kg};\\\ &\text{Corrente 2 (superaquecido):}\quad \dot m_2=\\ ?\\ \mathrm{kg/h},\\\ &\qquad\text{condição: }1{,}0\\ \mathrm{atm},\;400^\circ\mathrm{C},\quad h_2=3\,278\\ \mathrm{kJ/kg};\\\ &\text{Produto desejado:}\quad \text{vapor a }300^\circ\mathrm{C},\;1{,}0\\ \mathrm{atm},\quad h_3=\\ ?\\ \mathrm{kJ/kg}.\\\ \end{aligned}çãçã
A operação de mistura é adiabática (sem trocas de calor com o ambiente). Observação importante: o enunciado não deu explicitamente h_3 (entalpia do vapor a 300^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}). Como não foram fornecidas tabelas de vapor, vou estimar h_3 por interpolação linear entre os valores dados em 100^\circ\mathrm{C} e 400^\circ\mathrm{C} — é um método simples e razoável quando tabelas não estão disponíveis e as temperaturas não são extremas. Em seguida uso balanço de massa e de energia para achar as vazões e, para obter a vazão volumétrica da corrente a 400^\circ\mathrm{C}, uso a equação dos gases ideais para estimar o volume específico nessa condição.

Passo 2

Defino incógnitas e as equações básicas (conservação de massa e energia):
\begin{aligned} &\dot m_1+\dot m_2=\dot m_3 \quad\text{(balanço de massa)};\\\ &\dot m_1 h_1+\dot m_2 h_2=\dot m_3 h_3 \quad\text{(balanço de energia, adiabático e sem reação)}. \end{aligned}ççáçã
Explico rapidamente o que significam as grandezas:
  • \dot m_i é a vazão mássica da corrente i (em \mathrm{kg/h});
  • h_i é a entalpia específica do vapor na corrente i (em \mathrm{kJ/kg}).
    A equação de energia diz que a soma das entalpias transportadas pelas correntes de entrada é igual à entalpia transportada pela corrente de saída (porque não há troca de calor nem trabalho nem acumulação).

Passo 3

Elimino \dot m_3 usando \dot m_3=\dot m_1+\dot m_2 na equação de energia:
\dot m_1 h_1+\dot m_2 h_2=(\dot m_1+\dot m_2)h_3.
Rearranjando para isolar \dot m_2:
\dot m_1 h_1+\dot m_2 h_2=\dot m_1 h_3+\dot m_2 h_3
\dot m_2(h_2-h_3)=\dot m_1(h_3-h_1)
\boxed{\dot m_2=\dot m_1\frac{h_3-h_1}{\,h_2-h_3\,}}.
Esta fórmula é muito útil: ela nos dá a vazão mássica da corrente quente necessária para elevar a mistura até a entalpia desejada h_3.

Passo 4

Estimativa de h_3 (entalpia do vapor a 300^\circ\mathrm{C}, 1\\ \mathrm{atm}) por interpolação linear entre T_1=100^\circ\mathrm{C} e T_2=400^\circ\mathrm{C}:
\text{slope}=\frac{h_2-h_1}{T_2-T_1}=\frac{3\,278-2\,676}{400-100}=\frac{602}{300}=2{,}0066667\\ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\cdot^\circ\mathrm{C}}.
Agora h_3 em T_3=300^\circ\mathrm{C}:
h_3=h_1+\text{slope}\times(300-100)=2\,676+2{,}0066667\times200.
Calcule passo a passo:
2{,}0066667\times200=401{,}33333,
h_3=2\,676+401{,}33333=3\,077{,}33333\\ \mathrm{kJ/kg}.
Arredondando para três algarismos significativos: \;h_3\approx3\,077{,}33\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 5

Usando a fórmula do Passo 3 para calcular \dot m_2 (com \dot m_1=1{,}000\\ \mathrm{kg/h}):
\dot m_2=\;1{,}000\cdot\frac{3\,077{,}33333-2\,676}{3\,278-3\,077{,}33333}.
Calcule numerador e denominador:
h_3-h_1=3\,077{,}33333-2\,676=401{,}33333,
h_2-h_3=3\,278-3\,077{,}33333=200{,}66667.
Portanto
\dot m_2=1{,}000\cdot\frac{401{,}33333}{200{,}66667}=1{,}000\cdot2{,}000=2{,}000\\ \mathrm{kg/h}.
Interpretação: são necessários 2{,}000\\ \mathrm{kg/h} do vapor a 400^\circ\mathrm{C} para obter a mistura a 300^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Agora a vazão mássica do produto (vapor produzido a 300^\circ\mathrm{C}) é:
\dot m_3=\dot m_1+\dot m_2=1{,}000+2{,}000=3{,}000\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 7

Cálculo da vazão volumétrica necessária da segunda fonte (a 400^\circ\mathrm{C}). Primeiro preciso do volume específico v_2 (m³/kg) do vapor a 400^\circ\mathrm{C} e 1{,}0\\ \mathrm{atm}. Vou estimar v_2 usando a equação dos gases ideais:
v=\frac{R T}{p},
onde R é a constante específica do vapor d’água R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (note que 1\\ \mathrm{kJ}=1\\ \mathrm{kPa\cdot m^3}, então as unidades ficam consistentes), T em Kelvin e p em kPa. Convertendo:
T_2=400+273{,}15=673{,}15\\ \mathrm{K},\qquad p=1{,}0\\ \mathrm{atm}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
Logo
v_2=\frac{0{,}4615\cdot 673{,}15}{101{,}325}.
Calcule:
0{,}4615\cdot 673{,}15=310{,}808725,
v_2=\frac{310{,}808725}{101{,}325}=3{,}0686\\ \mathrm{m^3/kg}.
(Comentário: o uso do gás ideal aqui é uma boa aproximação em baixas pressões; tabelas teriam um valor muito próximo.)

Passo 8

Agora a vazão volumétrica da segunda fonte \dot V_2 (em \mathrm{m^3/h}) é:
\dot V_2=\dot m_2\;v_2=2{,}000\\ \mathrm{kg/h}\times 3{,}0686\\ \mathrm{m^3/kg}=6{,}1372\\ \mathrm{m^3/h}.
Arredondando com dois decimais: \dot V_2\approx6{,}14\\ \mathrm{m^3/h}.

Passo 9

Resumo numérico com casas significativas razoáveis (dados originais tinham 4 dígitos na vazão mássica, mas entalpias foram dadas com 4 dígitos): resultados arredondados de forma conservadora:
\dot m_3=3{,}000\\ \mathrm{kg/h},\qquad \dot V_2\approx6{,}14\\ \mathrm{m^3/h}.
Boa notícia: o resultado veio bem redondinho (razão 1:2 entre as massas). Se você tiver tabelas de vapor, substitua h_3 e o volume específico por valores de tabela para refinar os números — mas o procedimento (balanço de massa + balanço de energia + cálculo do volume específico) é exatamente o que se usa na prova. Força aí, que você consegue!

Resposta

\dot m_3=3{,}000\\ \mathrm{kg/h}
\dot V_2\approx6{,}14\\ \mathrm{m^3/h}

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