O esquema a seguir descreve um Tubo de Pitot localizado no centro de um duto de 200 mm de diâmetro, empregado para transferência de gasolina.
Considerando que a razão entre as velocidades média e máxima sendo 0,8 para o intervalo de interesse, calcule a vazão de gasolina, em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}.
Dados:
\begin{aligned} & \rho_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \\\ & \rho_{\text {gasolina }}=667 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \\\ & g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a vazão de gasolina no duto, em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. As informações numéricas fornecidas são:
\begin{aligned} &\text{diâmetro do duto: } 200\\ \mathrm{mm}=0{,}200\\ \mathrm{m},\\\ &\rho_{H_2O}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3,\\\ &\rho_{\text{gasolina}}=667\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3,\\\ &g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2,\\\ &\frac{\overline{v}}{v_{\max}}=0{,}8. \end{aligned}â
O enunciado menciona “o esquema a seguir” (um Tubo de Pitot e um manômetro), mas o esquema/figura com a leitura do manômetro (normalmente uma diferença de nível h) não foi enviado. Essa leitura é essencial para obter numericamente a velocidade a partir do Tubo de Pitot. Portanto, com os dados fornecidos não é possível calcular um valor numérico final da vazão sem conhecer a altura h indicada pelo manômetro.
Mesmo assim, vou desenvolver passo a passo a teoria e obter a fórmula que relaciona a vazão com h; assim, se você me passar depois o valor de h eu te dou a vazão numérica.

Passo 2

Conceito do Tubo de Pitot e Bernoulli (a ideia que vamos usar).
O Tubo de Pitot mede a diferença entre a pressão total (estagnação) e a pressão estática do fluido. Pela equação de Bernoulli (entre um ponto na corrente livre e o ponto de estagnação no centro) obtemos que a diferença de pressão dinâmica é:
\Delta p = p_{\text{total}} - p_{\text{estática}} = \frac{1}{2}\,\rho_{\text{gasolina}}\,v_{\max}^2.á
Aqui \rho_{\text{gasolina}} é a densidade do fluido em movimento (gasolina) e v_{\max} é a velocidade máxima no centro (o Pitot no centro mede essa velocidade máxima antes da estagnação).

Passo 3

Relação manométrica (como o manômetro converte \Delta p em altura).
O manômetro em U com fluido de manômetro (água) registra uma diferença de níveis \;h\;. Fazendo equilíbrio hidrostático entre pontos de mesma altitude nos dois ramos do manômetro e acompanhando a coluna de gasolina, chega-se à relação (dedução comum para manômetro ligado entre ponto de estagnação e ponto estático do mesmo fluido):
\Delta p = (\rho_{H_2O}-\rho_{\text{gasolina}})\,g\,h.
Explicação curta e intuitiva: a coluna mais pesada (água) precisa de diferença de pressão extra para ficar equilibrada com a coluna de gasolina; a diferença efetiva de densidades multiplicada por g h dá a pressão medida.

Passo 4

Igualando as duas expressões para \Delta p obtemos a relação entre v_{\max} e h. Escrevendo:
\frac{1}{2}\,\rho_{\text{gasolina}}\,v_{\max}^2 = (\rho_{H_2O}-\rho_{\text{gasolina}})\,g\,h.
Isolando v_{\max}:
v_{\max} = \sqrt{\frac{2(\rho_{H_2O}-\rho_{\text{gasolina}})\,g\,h}{\rho_{\text{gasolina}}}}.

Passo 5

Transformando v_{\max} em velocidade média \overline{v} e em vazão Q.
Pelo enunciado temos \overline{v}=0{,}8\,v_{\max}. A área do duto (diâmetro D=0{,}200\\ \mathrm{m}) é
A=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^2=\pi(0{,}100)^2=0{,}01\pi\\ \mathrm{m}^2.
A vazão é Q=\overline{v}\,A. Substituindo \overline{v} e v_{\max}:
Q = 0{,}8\,A\,\sqrt{\frac{2(\rho_{H_2O}-\rho_{\text{gasolina}})\,g\,h}{\rho_{\text{gasolina}}}}.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos das densidades, g e A e simplificando para obter uma forma prática em termos de h.
Primeiro calculemos a diferença de densidades:
\rho_{H_2O}-\rho_{\text{gasolina}}=1000-667=333\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
O fator dentro da raiz:
\frac{2\cdot 333\cdot 10}{667}=\frac{6660}{667}\approx 9{,}985.
O coeficiente fora da raiz é 0{,}8\cdot A = 0{,}8\cdot 0{,}01\pi = 0{,}008\pi. Assim:
Q = 0{,}008\pi \,\sqrt{9{,}985\,h}.
Calculando numericamente o coeficiente (aproximação adequada para uso em prova):
0{,}008\pi \approx 0{,}0251327,\quad \sqrt{9{,}985}\approx 3{,}1601,
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Q \approx 0{,}0251327\times 3{,}1601\\ \sqrt{h}\approx 0{,}07945\\ \sqrt{h}\quad\text{(com \(h\) em metros)}.
Arredondando de forma prática:
Q \approx 0{,}0795\\ \sqrt{h}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},\quad h\\ \text{em metros}.

Passo 7

Conclusão didática e o que falta: com os dados fornecidos não há um valor numérico final porque falta a leitura do manômetro \;h\; (diferença de níveis mostrada na figura). Se você informar h em metros eu já plugo na fórmula acima e te dou a vazão numérica imediatamente. Vai com calma: já temos a fórmula prática pronta para usar na prova.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a vazão sem o valor da diferença de níveis do manômetro h (não fornecido).
Expressão da vazão em função de h:
Q \approx 0{,}07945\\ \sqrt{h}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},\qquad h\\ \text{em metros}.

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