Considere A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -4 & 0 \\\\ 3 & 6 & 5 \\\\ -2 & 1 & 4\end{array}\right). Calcule \operatorname{det} B, onde B é a matriz obtida a partir de A
somando-se a linha 2 à linha 3 .

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 0\\\\ 3 & 6 & 5\\\\ -2 & 1 & 4 \end{pmatrix}
e define B como a matriz obtida somando a linha 2 de A à linha 3. O que precisamos usar é a propriedade de determinantes relacionada a operações elementares de linha.

Passo 2

Uma operação elementar de linha que consiste em adicionar a uma linha um múltiplo de outra não altera o valor do determinante. Como em B a linha 3 é simplesmente a linha 3 de A somada à linha 2 de A, vale
\det(B) = \det(A).

Passo 3

Agora basta calcular \det(A). Usando expansão por cofatores na primeira linha:
\det(A) = 2 \det\begin{pmatrix}6 & 5 \\\\ 1 & 4\end{pmatrix} -(-4)\det\begin{pmatrix}3 & 5 \\\\ -2 & 4\end{pmatrix} + 0 \det\begin{pmatrix}3 & 6 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix}.
Calculando os menores:
\det(A) = 2\,(6\cdot4 - 5\cdot1) +4\,(3\cdot4 - 5\cdot(-2)) = 2\cdot19 + 4\cdot22 = 38 + 88 = 126.

Resposta

\det(B) = 126

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