Informações relevantes fornecidas: \;A é uma matriz quadrada 4\times4 com entradas inteiras, e a única coisa pedida é \det(A).
Passo 2
Escolha de método e propriedades úteis (breve aulinha): vamos usar operações elementares de linha para transformar A em uma matriz triangular superior, porque o determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal — isso facilita muito o cálculo.\n
Propriedades das operações de linha que vou usar:
\begin{aligned} &\text{(a) trocar duas linhas troca o sinal do determinante: se }B\text{ é obtida trocando }R_i\leftrightarrow R_j\text{ em }A,\\\ &\qquad\det(B)=-\det(A).\\\ &\text{(b) somar a um }R_i\text{ um múltiplo de }R_j\\ (j\neq i) \text{ não altera o determinante:}\\\ &\qquad\det(\text{matriz após }R_i\leftarrow R_i+kR_j)=\det(\text{matriz original}).\\\ &\text{\text{(c)} multiplicar uma linha por }c\text{ multiplica o determinante por }c\text{ (evitar se possível).} \end{aligned}éúãóí
Essas regras nos permitem eliminar elementos abaixo da diagonal sem complicar demais o determinante. Vou aplicar operações do tipo (b) e eventualmente (a) para evitar frações.
Passo 3
Primeira operação prática: para evitar frações, troco R_1 com R_2. Pelo item (a) acima, isso inverte o sinal do determinante. Escrevo a matriz após a troca:
Anote mentalmente: se chamar a nova matriz de A^{(1)}, então \det(A^{(1)})=-\det(A).
Passo 4
Eliminação abaixo da primeira coluna (usar R_1 como pivô). Faço a operação R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Essa operação é do tipo (b), não altera o determinante de A^{(1)}. Calculo a nova R_2:
R_2 = (2,1,3,1) - 2\cdot(1,0,1,1) = (0,1,1,-1).
As outras linhas R_3 e R_4 já têm zero na primeira coluna, então permanecem. A matriz fica
Cálculo do determinante a partir da triangular e correção do sinal da troca inicial. Para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Assim, para a matriz obtida (que chamei de A^{(final)}),
Lembre que A^{(final)} foi obtida a partir de A por uma única troca de linhas (R_1\leftrightarrow R_2) e várias operações do tipo “somar múltiplo de uma linha em outra” (essas últimas não alteram o determinante). A única operação que afetou o sinal foi a troca, então