Calcule o determinante das matrizes abaixo.
A=\left(\begin{array}{llll}2 & 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz A dada por
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
\;A é uma matriz quadrada 4\times4 com entradas inteiras, e a única coisa pedida é \det(A).

Passo 2

Escolha de método e propriedades úteis (breve aulinha): vamos usar operações elementares de linha para transformar A em uma matriz triangular superior, porque o determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal — isso facilita muito o cálculo.\n
Propriedades das operações de linha que vou usar:
\begin{aligned} &\text{(a) trocar duas linhas troca o sinal do determinante: se }B\text{ é obtida trocando }R_i\leftrightarrow R_j\text{ em }A,\\\ &\qquad\det(B)=-\det(A).\\\ &\text{(b) somar a um }R_i\text{ um múltiplo de }R_j\\ (j\neq i) \text{ não altera o determinante:}\\\ &\qquad\det(\text{matriz após }R_i\leftarrow R_i+kR_j)=\det(\text{matriz original}).\\\ &\text{\text{(c)} multiplicar uma linha por }c\text{ multiplica o determinante por }c\text{ (evitar se possível).} \end{aligned}éúãóí
Essas regras nos permitem eliminar elementos abaixo da diagonal sem complicar demais o determinante. Vou aplicar operações do tipo (b) e eventualmente (a) para evitar frações.

Passo 3

Primeira operação prática: para evitar frações, troco R_1 com R_2. Pelo item (a) acima, isso inverte o sinal do determinante. Escrevo a matriz após a troca:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Anote mentalmente: se chamar a nova matriz de A^{(1)}, então \det(A^{(1)})=-\det(A).

Passo 4

Eliminação abaixo da primeira coluna (usar R_1 como pivô). Faço a operação R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Essa operação é do tipo (b), não altera o determinante de A^{(1)}. Calculo a nova R_2:
R_2 = (2,1,3,1) - 2\cdot(1,0,1,1) = (0,1,1,-1).
As outras linhas R_3 e R_4 já têm zero na primeira coluna, então permanecem. A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 5

Eliminação abaixo da segunda coluna (usar R_2 como pivô). Faço duas operações do tipo (b):
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2.
Calculemos cada uma:
R_3 = (0,2,1,0) - 2\cdot(0,1,1,-1) = (0,0,-1,2),
R_4 = (0,2,1,3) - 2\cdot(0,1,1,-1) = (0,0,-1,5).
A matriz agora é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & -1 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 6

Eliminação abaixo da terceira coluna (usar R_3 como pivô). Faço R_4 \leftarrow R_4 - R_3 (operação do tipo (b), não muda o determinante). Calcule:
R_4 = (0,0,-1,5) - (0,0,-1,2) = (0,0,0,3).
Agora a matriz está em forma triangular superior:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 7

Cálculo do determinante a partir da triangular e correção do sinal da troca inicial. Para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Assim, para a matriz obtida (que chamei de A^{(final)}),
\det(A^{(final)}) = 1 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot 3 = -3.
Lembre que A^{(final)} foi obtida a partir de A por uma única troca de linhas ( R_1\leftrightarrow R_2) e várias operações do tipo “somar múltiplo de uma linha em outra” (essas últimas não alteram o determinante). A única operação que afetou o sinal foi a troca, então
\det(A^{(final)}) = -\det(A).
Portanto
-\det(A) = -3 \quad\Longrightarrow\quad \det(A)=3.

Resposta

\;3

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