Relembre o que acontece com o determinante quando realizamos operações elementares numa matriz. Agora calcule o determinante abaixo aplicando operações elementares:
\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 5 & 6 & 7 \\\\ 0 & 0 & 8 & 9 \\\\ 2 & 4 & 6 & 9\end{array}\right|

Passo 1

O que o problema pede: calcular o determinante da matriz 4\times4
\left|\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 5 & 6 & 7 \\\\ 0 & 0 & 8 & 9 \\\\ 2 & 4 & 6 & 9 \end{array}\right|.
Informações dadas: os 16 elementos da matriz (listados acima). O objetivo final é um único número: o valor do determinante.

Passo 2

Relembre rápido — como as operações elementares de linha alteram o determinante (isso é crucial porque usaremos essas operações):
  • Trocar duas linhas altera o sinal do determinante: se B é obtida de A trocando duas linhas então \det(B)=-\det(A).
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k: se B é obtida de A multiplicando uma linha por k então \det(B)=k\det(A).
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha NÃO altera o determinante: se B é obtida de A por R_i\leftarrow R_i + \lambda R_j (com i\neq j), então \det(B)=\det(A).
Exemplos pequenos (para fixar):
  • Se A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&2\end{pmatrix}, então \det(A)=1\cdot2=2. Se eu fizer R_1\leftarrow R_1+3R_2 obtendo \begin{pmatrix}1&6\\\ 0&2\end{pmatrix}, o determinante continua 2.
  • Se eu trocar as duas linhas desse 2\times2, o determinante vira -2.
    Essas propriedades permitem simplificar a matriz sem perder (ou controlando) o valor do determinante.

Passo 3

Estratégia prática: transformar a matriz em triangular superior (zeros abaixo da diagonal) usando operações do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra” — essas não mudam o determinante. Para matrizes triangulares superiores, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então:
  1. aplicamos operações que não alterem o determinante até obter triangular superior;
  2. calculamos o produto dos elementos da diagonal.

Passo 4

Observando a matriz inicial, já há zeros em posições (2,1) e (3,1), mas em (4,1) 2. Podemos eliminar esse 2 usando a primeira linha (que tem 1 na posição (1,1)). A operação é do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra”, então não muda o determinante:
R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1.
Vamos calcular cada entrada de R_4 após essa operação:
  • primeira coluna: 2 - 2\cdot 1 = 0,
  • segunda coluna: 4 - 2\cdot 2 = 4 - 4 = 0,
  • terceira coluna: 6 - 2\cdot 3 = 6 - 6 = 0,
  • quarta coluna: 9 - 2\cdot 4 = 9 - 8 = 1.

Passo 5

Após essa única operação (que não altera o determinante), a matriz fica
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 5 & 6 & 7 \\\\ 0 & 0 & 8 & 9 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Note que agora é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero).

Passo 6

Propriedade usada a seguir: o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos da diagonal principal. Explicação curta e intuitiva: na expansão por cofactores, os zeros abaixo da diagonal fazem com que cada desenvolvimento leve ao produto dos diagonais (para um 2\times2 temos \begin{vmatrix}a&b\\\ 0&d\end{vmatrix}=ad; a ideia generaliza por indução para matrizes maiores). Então, para uma matriz triangular com diagonal (d_1,d_2,\dots,d_n),
\det = d_1 d_2 \cdots d_n.

Passo 7

Aplicando isso à matriz triangular que obtivemos, os elementos da diagonal são 1, 5, 8 e 1. Calculamos o produto passo a passo:
1\cdot5 = 5,
5\cdot8 = 40,
40\cdot1 = 40.

Passo 8

Como a única operação que fizemos foi R_4\leftarrow R_4-2R_1, que não altera o determinante, o determinante da matriz original é igual ao determinante da matriz triangular que encontramos. Portanto o determinante procurado vale 40.

Resposta

40

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