Seja o subespaço vetorial dado por \mathrm{S}=\left\{p(x) \in P_{3}(\mathbb{R}) ; p(-1)=0 ; p^{\prime}(1)=0\right\}
Este subespaço pode ser gerado por qual conjunto gerador?

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço
\mathrm{S}=\{p(x)\in P_{3}(\mathbb{R}) \mid p(-1)=0,\; p'(1)=0\}.
Pergunta: “Este subespaço pode ser gerado por qual conjunto gerador?”
Informações relevantes fornecidas:
  • p(x) é um polinômio de grau no máximo 3, ou seja, tem a forma geral com quatro coeficientes;
  • duas condições lineares: p(-1)=0 e p'(1)=0.
    Nada mais será assumido; vamos usar essas duas condições para obter uma descrição paramétrica de todos os polinômios em \mathrm{S}.

Passo 2

Escrevemos o polinômio genérico de P_{3}(\mathbb{R}) com coeficientes reais:
p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,
onde a,b,c,d\in\mathbb{R}. Explico: qualquer polinômio de grau \le 3 pode ser escrito assim; a é o coeficiente de x^{3}, b de x^{2}, c de x e d o termo constante.

Passo 3

Usamos a primeira condição p(-1)=0. Substituindo x=-1 em p(x) obtemos:
p(-1)=a(-1)^{3}+b(-1)^{2}+c(-1)+d=-a+b-c+d.
A condição p(-1)=0 dá a equação linear
-a+b-c+d=0.

Passo 4

Agora calculamos a derivada p'(x). Derivando termo a termo:
p'(x)=3ax^{2}+2bx+c.
Aplicando a segunda condição p'(1)=0 obtemos
p'(1)=3a+2b+c=0.

Passo 5

Temos, portanto, o sistema linear nas incógnitas a,b,c,d\): \[\begin{cases} -a+b-c+d=0,\\[4pt] 3a+2b+c=0. \end{cases}
A ideia é resolver esse sistema em função de alguns parâmetros livres. Da segunda equação isolamos c\]: \[c=-3a-2b.\] Substituímos esse \(c na primeira equação para obter d. Substituindo em -a+b-c+d=0 temos
-a+b-(-3a-2b)+d=0.
Calculando o parêntese:
-a+b+3a+2b+d=0 \quad\Rightarrow\quad 2a+3b+d=0.
Logo
d=-2a-3b.]

Passo 6

Agora escrevemos p(x) substituindo c e d em termos de a e b:
p(x)=ax^{3}+bx^{2}+(-3a-2b)x+(-2a-3b).
Agrupando os termos com a e com b:
p(x)=a\bigl(x^{3}-3x-2\bigr)+b\bigl(x^{2}-2x-3\bigr).
Isso mostra que todo polinômio de \mathrm{S} é combinação linear de \,x^{3}-3x-2 e de \,x^{2}-2x-3.

Passo 7

Mostro que esses dois polinômios geradores são linearmente independentes, portanto formam uma base (e, em particular, um conjunto gerador minimal). Suponha que exista \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha\bigl(x^{3}-3x-2\bigr)+\beta\bigl(x^{2}-2x-3\bigr)\equiv 0
(polinhomogeneamente nulo para todo x). Olhando os coeficientes das potências de x obtemos:
  • coeficiente de x^{3}: \alpha=0;
  • coeficiente de x^{2}: \beta=0.
    Assim \alpha=\beta=0, logo são linearmente independentes. Portanto o espaço \mathrm{S} tem dimensão 2 e
\mathrm{S}=\operatorname{span}\{\,x^{3}-3x-2,\;x^{2}-2x-3\,\}.

Passo 8

Observação útil (opcional para a prova): ambos os polinômios geradores têm (x+1) como fator (isto já era esperado porque p(-1)=0 para todo p\in\mathrm{S}). De fato
x^{3}-3x-2=(x+1)(x^{2}-x-2),\qquad x^{2}-2x-3=(x+1)(x-3).
Isso confirma que todo polinômio de \mathrm{S} é múltiplo de (x+1), e os polinômios acima fornecem uma escolha conveniente de geradores lineares independentes.

Resposta

\{\,x^{3}-3x-2,\;x^{2}-2x-3\,\}

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