Seja o subespaço vetorial dado por
Este subespaço pode ser gerado por qual conjunto gerador?
Este subespaço pode ser gerado por qual conjunto gerador?
Passo 1
O enunciado nos dá o subespaço
Pergunta: “Este subespaço pode ser gerado por qual conjunto gerador?”
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
é um polinômio de grau no máximo , ou seja, tem a forma geral com quatro coeficientes; - duas condições lineares:
e .
Nada mais será assumido; vamos usar essas duas condições para obter uma descrição paramétrica de todos os polinômios em.
Passo 2
Escrevemos o polinômio genérico de
com coeficientes reais:
onde
. Explico: qualquer polinômio de grau
pode ser escrito assim;
é o coeficiente de
,
de
,
de
e
o termo constante.
Passo 3
Usamos a primeira condição
. Substituindo
em
obtemos:
A condição
dá a equação linear
Passo 4
Agora calculamos a derivada
. Derivando termo a termo:
Aplicando a segunda condição
obtemos
Passo 5
Temos, portanto, o sistema linear nas incógnitas
A ideia é resolver esse sistema em função de alguns parâmetros livres. Da segunda equação isolamos
na primeira equação para obter
. Substituindo em
temos
Calculando o parêntese:
Logo
Passo 6
Agora escrevemos
substituindo
e
em termos de
e
:
Agrupando os termos com
e com
:
Isso mostra que todo polinômio de
é combinação linear de
e de
.
Passo 7
Mostro que esses dois polinômios geradores são linearmente independentes, portanto formam uma base (e, em particular, um conjunto gerador minimal). Suponha que exista
tais que
(polinhomogeneamente nulo para todo
). Olhando os coeficientes das potências de
obtemos:
- coeficiente de
: ; - coeficiente de
: .
Assim, logo são linearmente independentes. Portanto o espaço tem dimensão e
Passo 8
Observação útil (opcional para a prova): ambos os polinômios geradores têm
como fator (isto já era esperado porque
para todo
). De fato
Isso confirma que todo polinômio de
é múltiplo de
, e os polinômios acima fornecem uma escolha conveniente de geradores lineares independentes.