Seja \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) um espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2, e um subespaço dado por:
\mathrm{V}=\left\{\left.\left[\begin{array}{cc}x & y \\\ z & t\end{array}\right] \in \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) \right\rvert\, x-2 y+5 z-4 t=0\right\}

Encontre uma base para V e \operatorname{dimV}.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço V de \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) composto pelas matrizes
\left[\begin{array}{cc}x & y \\\ z & t\end{array}\right]
cuja entradas satisfazem a equação linear
x-2y+5z-4t=0.
O que se pede:
  • Encontrar uma base para V.
  • Determinar \dim V.

Passo 2

Primeiro vamos entender a equação que impõe a restrição sobre as entradas. Temos a relação linear entre x,y,z,t:
x-2y+5z-4t=0.
Isolando x em termos de y,z,t (fazendo álgebra simples) obtemos
x = 2y - 5z + 4t.
Isto significa que, uma vez escolhidos y,z,t, o valor de x fica determinado por essa fórmula. Portanto há três graus de liberdade (os parâmetros y,z,t).

Passo 3

Vamos representar uma matriz genérica de V usando os parâmetros y,z,t. Substituindo x em termos de y,z,t na matriz geral, obtemos
\begin{pmatrix} x & y \\[4pt] z & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2y-5z+4t & y \\[4pt] z & t \end{pmatrix}.
Agora separamos essa matriz em soma de matrizes multiplicadas pelos parâmetros y,z,t. Agrupando termos:
\begin{pmatrix} 2y-5z+4t & y \\[4pt] z & t \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}-5 & 0 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

A expressão do passo anterior mostra que todo elemento de V pode ser escrito como combinação linear dos três matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}-5 & 0 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
com coeficientes y,z,t. Isso prova que \{A,B,C\} gera V (ou seja, é um conjunto gerador).]

Passo 5

Agora verificamos que A,B,C são linearmente independentes. Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha A + \beta B + \gamma C = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Escrevendo as entradas, obtemos o sistema de equações:
topo-direita:
\alpha = 0,
baixo-esquerda:
\beta = 0,
baixo-direita:
\gamma = 0,
e topo-esquerda (que é redundante após as anteriores):
2\alpha -5\beta +4\gamma = 0.
Das três primeiras equações vem imediatamente \alpha=\beta=\gamma=0. Logo A,B,C são linearmente independentes.]

Passo 6

Como \{A,B,C\} gera V e é linearmente independente, é uma base de V. O número de vetores na base é 3, portanto
\dim V = 3.

Resposta

Uma base para V é
\left\{ \begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-5 & 0 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \right\}
\dim V = 3]

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