Seja \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) um espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2, e um subespaço dado por: \mathrm{V}=\left\{\left.\left[\begin{array}{cc}x & y \\\ z & t\end{array}\right] \in \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) \right\rvert\, x-2 y+5 z-4 t=0\right\}
Encontre uma base para V e \operatorname{dimV}.
Passo 1
O enunciado dá o subespaço V de \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) composto pelas matrizes
\left[\begin{array}{cc}x & y \\\ z & t\end{array}\right]
cuja entradas satisfazem a equação linear
x-2y+5z-4t=0.
O que se pede:
Encontrar uma base para V.
Determinar \dim V.
Passo 2
Primeiro vamos entender a equação que impõe a restrição sobre as entradas. Temos a relação linear entre x,y,z,t:
x-2y+5z-4t=0.
Isolando x em termos de y,z,t (fazendo álgebra simples) obtemos
x = 2y - 5z + 4t.
Isto significa que, uma vez escolhidos y,z,t, o valor de x fica determinado por essa fórmula. Portanto há três graus de liberdade (os parâmetros y,z,t).
Passo 3
Vamos representar uma matriz genérica de V usando os parâmetros y,z,t. Substituindo x em termos de y,z,t na matriz geral, obtemos
\begin{pmatrix} x & y \\[4pt] z & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2y-5z+4t & y \\[4pt] z & t \end{pmatrix}.
Agora separamos essa matriz em soma de matrizes multiplicadas pelos parâmetros y,z,t. Agrupando termos:
\begin{pmatrix} 2y-5z+4t & y \\[4pt] z & t \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}-5 & 0 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]
Passo 4
A expressão do passo anterior mostra que todo elemento de V pode ser escrito como combinação linear dos três matrizes