Considere A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 4 & 0 \\\\ 2 & 6 & 1 \\\\ 3 & 7 & -1\end{array}\right]. Obtenha a matriz B a partir das respectivas operações elementares aplicadas em A:
a. \quad L_{1} \rightarrow (2) \cdot L_{1}
b. L_{2} \leftrightarrow L_{3}
c. L_{3} \rightarrow(-4) \cdot L_{2}+L_{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}-1 & 4 & 0 \\[4pt] 2 & 6 & 1 \\[4pt] 3 & 7 & -1\end{pmatrix}
e pede para obter a matriz B aplicando, em ordem, as operações elementares sobre as linhas:
  • (a) L_{1}\rightarrow 2\cdot L_{1};
  • (b) L_{2}\leftrightarrow L_{3} (trocar as linhas 2 e 3);
  • (c) L_{3}\rightarrow (-4)\cdot L_{2}+L_{3}.
Ou seja, devemos aplicar essas três operações sequencialmente em A e mostrar o resultado final B.]

Passo 2

Explicando rapidamente as operações (para ficar tranquilo na prova):
  • A operação L_{i}\rightarrow k\cdot L_{i} multiplica cada entrada da linha i pelo número k (escala a linha).
  • A operação L_{i}\leftrightarrow L_{j} troca completamente as linhas i e j.
  • A operação L_{i}\rightarrow \alpha\cdot L_{j}+L_{i} substitui a linha i pela soma da linha i com \alpha vezes a linha j; faz-se entrada a entrada.
Agora vamos aplicar as operações uma a uma, calculando todas as entradas passo a passo.

Passo 3

Aplicar (a) L_{1}\rightarrow 2\cdot L_{1}.
A linha 1 de A é (-1,\;4,\;0). Multiplicando por 2 cada entrada:
2\cdot(-1)=-2,\qquad 2\cdot 4=8,\qquad 2\cdot 0=0.
Logo a matriz após (a) é
A^{(1)}=\begin{pmatrix}-2 & 8 & 0 \\[4pt] 2 & 6 & 1 \\[4pt] 3 & 7 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Aplicar (b) L_{2}\leftrightarrow L_{3} sobre A^{(1)}.
Isso troca a segunda e a terceira linhas. Antes da troca:
L_{2}=(2,\;6,\;1),\qquad L_{3}=(3,\;7,\;-1).
Após a troca obtemos
A^{(2)}=\begin{pmatrix}-2 & 8 & 0 \\[4pt] 3 & 7 & -1 \\[4pt] 2 & 6 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Aplicar (c) L_{3}\rightarrow (-4)\cdot L_{2}+L_{3} sobre A^{(2)}.
Aqui usamos as linhas atuais de A^{(2)}:
L_{2}=(3,\;7,\;-1),\qquad L_{3}=(2,\;6,\;1).
Primeiro calculamos (-4)\cdot L_{2} entrada a entrada:
(-4)\cdot 3 = -12,\qquad (-4)\cdot 7 = -28,\qquad (-4)\cdot(-1)=4.
Agora somamos com L_{3}:
-12 + 2 = -10,\qquad -28 + 6 = -22,\qquad 4 + 1 = 5.
Portanto a nova L_{3} é (-10,\;-22,\;5). Substituindo na matriz:
B=A^{(3)}=\begin{pmatrix}-2 & 8 & 0 \\[4pt] 3 & 7 & -1 \\[4pt] -10 & -22 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 6

Checagem rápida (mental e para a prova): cada operação foi feita sobre a versão atual da matriz (sequencialmente), e os cálculos de multiplicação e soma foram feitos entrada a entrada. Está tudo consistente.

Resposta

B=\begin{pmatrix}-2 & 8 & 0 \\[4pt] 3 & 7 & -1 \\[4pt] -10 & -22 & 5\end{pmatrix}]

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