Quais dos seguintes subconjuntos do espaço vetorial
são subespaços vetoriais?
com
e
e
reais.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
do espaço vetorial
formado por todas as matrizes
com
que satisfazem as duas condições lineares
A pergunta é:
é subespaço vetorial de
ou não?
Passo 2
Lembrete do que precisamos verificar (definição prática de subespaço): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se
-
não é vazio (equivalente: contém a matriz zero); -
é fechado para soma: se e então ; -
é fechado para multiplicação por escalar: se e então .
Vou checar essas três propriedades uma a uma, mostrando as contas passo a passo e explicando o raciocínio (para você poder reproduzir na prova).
Passo 3
Verificar se a matriz zero pertence a
.
A matriz zero em
é
Calculam-se as expressões das restrições:
Como ambas as condições são satisfeitas, a matriz zero pertence a
. Logo
não é vazio (propriedade 1 está satisfeita).]
Passo 4
Verificar fechamento por soma.
Sejam
Pelo fato de
e
pertencerem a
, vale
A soma é
Agora verificamos as mesmas restrições para
:
Portanto
satisfaz as condições e
. Assim,
é fechado por soma (propriedade 2 satisfeita).]
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
Seja
e
ou seja
e
. Considere
:
Verificamos as restrições:
Logo
satisfaz as condições e
. Assim,
é fechado por multiplicação por escalar (propriedade 3 satisfeita).]
Passo 6
Conclusão sobre subespaço com base nas verificações.
Como já mostramos que a matriz zero pertence a
, que
é fechado para soma e para multiplicação por escalar, então
é um subespaço vetorial de
.
Uma observação conceptual (útil para provas):
é o conjunto de soluções de um sistema homogêneo de duas equações lineares nas seis incógnitas
. O conjunto solução de equações lineares homogêneas é sempre um subespaço vetorial — essa é uma forma rápida de justificar a resposta em provas.
Passo 7
(Para treinar: descrição explícita das matrizes de
e dimensão)
Podemos parametrizar todas as matrizes de
escolhendo variáveis livres. Das equações temos
e
. Tomando
como parâmetros livres (chame-os de
), a matriz geral em
é
Essas quatro matrizes formam uma base de
, portanto
. Isso confirma o raciocínio: começando com 6 graus de liberdade em
e impondo 2 equações independentes homogêneas, sobra dimensão
.]