Quais dos seguintes subconjuntos do espaço vetorial M_{2 \times 3} são subespaços vetoriais?
\mathrm{W}_{3}=\left\{\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f\end{array}\right) \in \mathrm{M} 2 \mathrm{x} 3\right. com \mathrm{a}+\mathrm{c}=0 e \left.b+d+f=0\right\} e a, b, c, d, e, f reais.

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto \mathrm{W}_3 do espaço vetorial M_{2\times 3} formado por todas as matrizes
\begin{pmatrix} a & b & c \\\ d & e & f \end{pmatrix}
com a,b,c,d,e,f\in\mathbb{R} que satisfazem as duas condições lineares
a+c=0 \qquad\text{e}\qquad b+d+f=0.
A pergunta é: \mathrm{W}_3 é subespaço vetorial de M_{2\times 3} ou não?

Passo 2

Lembrete do que precisamos verificar (definição prática de subespaço): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. W não é vazio (equivalente: contém a matriz zero);
  2. W é fechado para soma: se X\in W e Y\in W então X+Y\in W;
  3. W é fechado para multiplicação por escalar: se X\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda X\in W.
Vou checar essas três propriedades uma a uma, mostrando as contas passo a passo e explicando o raciocínio (para você poder reproduzir na prova).

Passo 3

Verificar se a matriz zero pertence a \mathrm{W}_3.
A matriz zero em M_{2\times3} é
0=\begin{pmatrix}0&0&0\\[2pt]0&0&0\end{pmatrix}.
Calculam-se as expressões das restrições:
a+c=0+0=0, \qquad b+d+f=0+0+0=0.
Como ambas as condições são satisfeitas, a matriz zero pertence a \mathrm{W}_3. Logo \mathrm{W}_3 não é vazio (propriedade 1 está satisfeita).]

Passo 4

Verificar fechamento por soma.
Sejam
X=\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\[2pt]d_1&e_1&f_1\end{pmatrix}\in\mathrm{W}_3 \qquad\text{e}\qquad Y=\begin{pmatrix}a_2&b_2&c_2\\[2pt]d_2&e_2&f_2\end{pmatrix}\in\mathrm{W}_3.
Pelo fato de X e Y pertencerem a \mathrm{W}_3, vale
a_1+c_1=0,\quad b_1+d_1+f_1=0,
a_2+c_2=0,\quad b_2+d_2+f_2=0.
A soma é
X+Y=\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2 & c_1+c_2\\[2pt] d_1+d_2 & e_1+e_2 & f_1+f_2\end{pmatrix}.
Agora verificamos as mesmas restrições para X+Y:
(a_1+a_2)+(c_1+c_2)=(a_1+c_1)+(a_2+c_2)=0+0=0,
(b_1+b_2)+(d_1+d_2)+(f_1+f_2)=(b_1+d_1+f_1)+(b_2+d_2+f_2)=0+0=0.
Portanto X+Y satisfaz as condições e X+Y\in\mathrm{W}_3. Assim, \mathrm{W}_3 é fechado por soma (propriedade 2 satisfeita).]

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
Seja \lambda\in\mathbb{R} e
X=\begin{pmatrix}a&b&c\\[2pt]d&e&f\end{pmatrix}\in\mathrm{W}_3,
ou seja a+c=0 e b+d+f=0. Considere \lambda X:
\lambda X=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b & \lambda c\\[2pt]\lambda d & \lambda e & \lambda f\end{pmatrix}.
Verificamos as restrições:
(\lambda a)+(\lambda c)=\lambda(a+c)=\lambda\cdot 0=0,
(\lambda b)+(\lambda d)+(\lambda f)=\lambda(b+d+f)=\lambda\cdot 0=0.
Logo \lambda X satisfaz as condições e \lambda X\in\mathrm{W}_3. Assim, \mathrm{W}_3 é fechado por multiplicação por escalar (propriedade 3 satisfeita).]

Passo 6

Conclusão sobre subespaço com base nas verificações.
Como já mostramos que a matriz zero pertence a \mathrm{W}_3, que \mathrm{W}_3 é fechado para soma e para multiplicação por escalar, então \mathrm{W}_3 é um subespaço vetorial de M_{2\times3}.
Uma observação conceptual (útil para provas): \mathrm{W}_3 é o conjunto de soluções de um sistema homogêneo de duas equações lineares nas seis incógnitas a,b,c,d,e,f. O conjunto solução de equações lineares homogêneas é sempre um subespaço vetorial — essa é uma forma rápida de justificar a resposta em provas.

Passo 7

(Para treinar: descrição explícita das matrizes de \mathrm{W}_3 e dimensão)
Podemos parametrizar todas as matrizes de \mathrm{W}_3 escolhendo variáveis livres. Das equações temos c=-a e f= -b-d. Tomando a,b,d,e como parâmetros livres (chame-os de s,t,u,v), a matriz geral em \mathrm{W}_3 é
\begin{pmatrix} s & t & -s\\[2pt] u & v & -t-u \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}1&0&-1\\[2pt]0&0&0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0&1&0\\[2pt]0&0&-1\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}0&0&0\\[2pt]1&0&-1\end{pmatrix} + v\begin{pmatrix}0&0&0\\[2pt]0&1&0\end{pmatrix}.
Essas quatro matrizes formam uma base de \mathrm{W}_3, portanto \dim(\mathrm{W}_3)=4. Isso confirma o raciocínio: começando com 6 graus de liberdade em M_{2\times3} e impondo 2 equações independentes homogêneas, sobra dimensão 6-2=4.]

Resposta

\mathrm{W}_3 é subespaço vetorial de M_{2\times3}.

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