Considere uma lei de força na forma
Demonstre que, se
, uma partícula poderá se mover em uma órbita circular estável em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma lei de força que depende da distância $ r $, dada por:
A missão é mostrar que, se $ k r_{0}^{2} > k’ $, uma partícula pode se mover em uma órbita circular estável na distância $ r = r_{0} $.
Matéria envolvida: Leis de movimento circular, força centrípeta, estabilidade de órbitas e análise de potenciais eficazes.
O que vamos precisar: Entender como equilibrar a força centrípeta com a força fornecida pela lei $ F® $ e verificar as condições para que essa órbita seja estável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula manter uma órbita circular de raio $ r_{0} $, a força centrípeta necessária para mantê-la nessa trajetória deve ser igual à força que está agindo nela.
A força centrípeta é dada por:
onde:
- $ m $ é a massa da partícula,
- $ v $ é a velocidade tangencial,
- $ r $ é o raio da órbita.
No nosso caso, a força que está “puxando” a partícula para o centro é $ F® $. Então, para manter a órbita circular estável, temos:
Passo 3
Substituindo a expressão de $ F® $ na igualdade, temos:
Como estamos interessados na orbitando em $ r = r_{0} $, substituímos $ r $ por $ r_{0} $:
Essa equação relaciona a velocidade $ v $ da partícula com o raio $ r_{0} $ da órbita.
Passo 4
Agora, para garantir que essa órbita seja estável, precisamos verificar o comportamento da força quando a partícula sofre pequenas perturbações ao redor de $ r_{0} $. Se, após uma pequena perturbação, a força resultante empurrar a partícula de volta para $ r_{0} $, a órbita é estável.
Matematicamente, isso envolve analisar a segunda derivada do potencial efetivo $ V_{eff}® $ em $ r_{0} $. Se essa segunda derivada for positiva, a órbita é estável.
Passo 5
Vamos definir o potencial efetivo $ V_{eff}® $, que combina o potencial da força $ F® $ e a energia cinética associada ao movimento angular da partícula:
onde:
- $ V® $ é o potencial associado à força $ F® $,
- $ L $ é o momento angular da partícula ($ L = m v r $).
A condição para uma órbita estável é que $ V_{eff}® $ tenha um mínimo em $ r = r_{0} $.
Passo 6
Primeiro, vamos encontrar o potencial $ V® $ tal que $ F® = -\frac{dV}{dr} $:
Integrando ambos os lados em relação a $ r $:
Podemos desprezar a constante $ C $ pois ela não afeta as forças.
Passo 7
Substituindo $ V® $ no potencial efetivo:
Para encontrar a órbita circular, derivamos $ V_{eff}® $ em relação a $ r $ e igualamos a zero:
Essa é a condição de equilíbrio para a órbita circular.
Passo 8
Agora, calculamos a segunda derivada de $ V_{eff}® $ para verificar a estabilidade:
Para que a órbita seja estável, essa segunda derivada deve ser positiva em $ r = r_{0} $:
Passo 9
Considerando a condição dada no enunciado $ k r_{0}^{2} > k’ $, podemos observar que a contribuição do termo $ \frac{4k’}{r_{0}^{5}} $ é menor comparada a $ \frac{2k}{r_{0}^{3}} $. Isso significa que a maioria da força estável vem do primeiro termo, garantindo que a segunda derivada seja positiva.
Além disso, a presença do termo positivo $ \frac{3L^{2}}{m r_{0}^{4}} $ reforça a estabilidade da órbita, já que contribui positivamente para a segunda derivada.
Resposta
Portanto, se $ k r_{0}^{2} > k’ $, a análise das derivadas do potencial efetivo confirma que a segunda derivada em $ r = r_{0} $ é positiva. Isso garante que a partícula pode se mover em uma órbita circular estável na distância $ r = r_{0} $.