A posição r de uma partícula que se move no plano xy é dada por r=(2,0 t^3-5,0 t) imath + (6,0-7,0 t^4) jmath com r em metros e t em segundos. Determine:
(a) A velocidade v e aceleração a da partícula em qualquer instante de tempo usando a notação de vetores unitários.

Passo 1

Então, o lance é o seguinte: a posição da partícula tá dada pelo vetor
vec r(t)=l(2,0,t^3 - 5,0,tr),hatimath ;+;l(6,0 - 7,0,t^4r),hatjmath
com em segundos e em metros. Isso é um problema de cinemática vetorial: a gente vai precisar lembrar que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo ( ) e aceleração é a derivada da velocidade ( ). Também vamos usar a regra básica de derivação de potências, tipo , e que a derivada de constante é zero.

Passo 2

Calcular a velocidade:
vec v(t)=dvec rdt =ddtl[(2,0,t^3-5,0,t)r],hatimath +ddtl[(6,0-7,0,t^4)r],hatjmath
Vamos derivar termo a termo:
  • Para vec v(t)=l(6,0,t^2 -5,0r),hatimath ;+;l(-28,0,t^3r),hatjmath :

    e .
    Então .
  • Para :
    e .
    Logo .
Então

Passo 3

Calcular a aceleração:
vec a(t)=dvec vdt =ddtl(6,0,t^2 -5,0r),hatimath +ddtl(-28,0,t^3r),hatjmath
Derivando de novo:
  • Para vec a(t)=l(12,0,tr),hatimath ;+;l(-84,0,t^2r),hatjmath :
    ,
    e a constante some.
    Logo .
  • Para :
    .
    Então .
Ficamos com

Resposta

boxed vec v(t)=l(6,0,t^2 -5,0r),hatimath ;+;l(-28,0,t^3r),hatjmath, vec a(t)=l(12,0,tr),hatimath ;+;l(-84,0,t^2r),hatjmath

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