Supondo que exista átomos de hidrogênio com número de massa quatro (1 próton +3 nêutrons), determine a separação entre a primeira linha da série de Paschen (ni = 4 Prova de Química Quântica - 2023/2S Prof. Gabriel Heerdt Departamento de Química - ICEX - UFMG nf = 3) para o hidrogênio 1 H e seu isótopo 4H. Expresse o resultado como uma diferença de comprimentos de onda ( De ).).

Passo 1

Beleza, o enunciado quer saber a “separação” entre a primeira linha da série de Paschen (transição ni=4 → nf=3) para o hidrogênio normal (^1H) e pro isótopo de massa 4 (^4H).
Conteúdo: química quântica – fórmula de Rydberg com correção de massa reduzida.
O que vamos precisar:
  1. Fórmula de Rydberg corrigida para massa reduzida
  2. Cálculo da massa reduzida μ = mₑM/(mₑ+M) pra cada átomo
  3. Cálculo do constante de Rydberg R = R∞·(μ/mₑ)
  4. Aplicar 1/λ = R·(1/nf² – 1/ni²) pra cada isótopo
  5. Subtrair os comprimentos de onda pra achar Δλ

Passo 2

Teoria básica:
A série de Paschen usa
1lambda = R,l(1nf^2-1ni^2r)
onde, por correção de massa reduzida,
R = Rinfty,mume, mu=meMme+M
Aqui R∞ = 1{,}097373×10^7 m⁻¹, mₑ = 9{,}109×10⁻³¹ kg, M é a massa do núcleo (mₚ ou 4 u).

Passo 3

Calcula μ em cada caso (aprox mₑ≪M → μ≈mₑ(1 – mₑ/M)), mas vamos usar a forma exata:
para ^1H:
M1 = mp = 1,673×10^-27,kg,
mu1 = 9,109×10^-31cdot1,673×10^-279,109×10^-31+1,673×10^-27approx9,104×10^-31,kg
para ^4H:
M4 = 4,u =4cdot1,6605×10^-27=6,642×10^-27,kg,
mu4 = 9,109×10^-31cdot6,642×10^-279,109×10^-31+6,642×10^-27approx9,106×10^-31,kg

Passo 4

Agora R para cada isótopo:
R1 = Rinftymu1meapprox1,097373×10^7cdot9,104×10^-319,109×10^-31approx1,09699×10^7,m^-1,
R4 = Rinftymu4meapprox1,097373×10^7cdot9,106×10^-319,109×10^-31approx1,09725×10^7,m^-1

Passo 5

Agora λ pra transição 4→3 (1/nf² – 1/ni² = 1/3² – 1/4² = 7/144):
lambda1 = 1R17144approx7144cdot1,09699×10^7=1,4609×10^-6,m,
lambda4 = 1R47144approx7144cdot1,09725×10^7=1,4609×10^-6,m
(Repare que elas são muito parecidas, a diferença vem dos dígitos)

Passo 6

Diferença Δλ = λ_4 – λ_1:
De
Como pediram “separação”, podemos dar o valor absoluto.

Resposta

Δλ ≃ 1,8×10⁻¹² m (≈1,8 pm)

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