Supondo que exista átomos de hidrogênio com número de massa quatro (1 próton +3 nêutrons), determine a separação entre a primeira linha da série de Paschen (ni = 4 Prova de Química Quântica - 2023/2S Prof. Gabriel Heerdt Departamento de Química - ICEX - UFMG nf = 3) para o hidrogênio 1 H e seu isótopo 4H. Expresse o resultado como uma diferença de comprimentos de onda (
).).
Passo 1
Beleza, o enunciado quer saber a “separação” entre a primeira linha da série de Paschen (transição ni=4 → nf=3) para o hidrogênio normal (^1H) e pro isótopo de massa 4 (^4H).
Conteúdo: química quântica – fórmula de Rydberg com correção de massa reduzida.
O que vamos precisar:
Conteúdo: química quântica – fórmula de Rydberg com correção de massa reduzida.
O que vamos precisar:
- Fórmula de Rydberg corrigida para massa reduzida
- Cálculo da massa reduzida μ = mₑM/(mₑ+M) pra cada átomo
- Cálculo do constante de Rydberg R = R∞·(μ/mₑ)
- Aplicar 1/λ = R·(1/nf² – 1/ni²) pra cada isótopo
- Subtrair os comprimentos de onda pra achar Δλ
Passo 2
Teoria básica:
A série de Paschen usa
A série de Paschen usa
onde, por correção de massa reduzida,
Aqui R∞ = 1{,}097373×10^7 m⁻¹, mₑ = 9{,}109×10⁻³¹ kg, M é a massa do núcleo (mₚ ou 4 u).
Passo 3
Calcula μ em cada caso (aprox mₑ≪M → μ≈mₑ(1 – mₑ/M)), mas vamos usar a forma exata:
para ^1H:
para ^1H:
para ^4H:
Passo 4
Agora R para cada isótopo:
Passo 5
Agora λ pra transição 4→3 (1/nf² – 1/ni² = 1/3² – 1/4² = 7/144):
(Repare que elas são muito parecidas, a diferença vem dos dígitos)
Passo 6
Diferença Δλ = λ_4 – λ_1:
Como pediram “separação”, podemos dar o valor absoluto.
Resposta
Δλ ≃ 1,8×10⁻¹² m (≈1,8 pm)