Considere a lei de Kirchhoff para o circuito RLC dada por
L di(t)dt+Ri(t)+1C q(t)=v(t)
com os valores iniciais i(0)=0 e q(0)=0. Usando o método da transformada de Laplace, mostre que
I(s)=s V(s)L[(s+R2 L)^2+Gamma^2],
sendo I(s)=Li(t), V(s)=Lv(t) e .

Passo 1

O enunciado pede pra, usando a transformada de Laplace, achar a expressão de
L,di(t)dt + R,i(t) + 1C,q(t) = v(t)
a partir da lei de Kirchhoff para um circuito RLC:
com condições iniciais e .
O conteúdo principal é:
  • Transforma­da de Laplace de derivadas e integrais.
  • Relação vira .

Passo 2

Primeiro, vamos transformar cada termo da equação em Laplace.
  1. L,s,I(s) + R,I(s) + 1C,1sI(s) = V(s) . Como , vira .
  2. .
  3. . Mas, pela dica, então .
  4. .
Substituindo na lei de Kirchhoff:

Passo 3

Fatoramos I(s)l(L,s + R + tfrac1C,sr) = V(s) do lado esquerdo:
L,s + R + 1C,s = L,s^2 + R,s + 1Cs
Para juntar tudo num único denominador, escrevemos
I(s),L s^2 + R s + tfrac1Cs = V(s) Longrightarrow I(s) = s,V(s)L s^2 + R s + tfrac1C
Logo,

Passo 4

Só falta mostrar que o denominador pode ser escrito em forma completando o quadrado.
L s^2 + R s + 1C = Ll(s^2 + RLs + 1L Cr)
Agora completamos o quadrado em s^2 + RLs = l(s + R2Lr)^2 - l(R2Lr)^2 :
s^2 + RLs + 1LC = l(s + tfracR2Lr)^2 + l(1LC - l(tfracR2Lr)^2r)
Então
L s^2 + R s + 1C = Ll[l(s + tfracR2Lr)^2 + Gamma^2r]
Definindo , temos

Resposta

boxedI(s) = s,V(s)Ll[l(s + tfracR2Lr)^2 + Gamma^2r], Gamma^2 = 1LC - l(tfracR2Lr)^2

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