Usando o método operacional de inversão, mostre que a transformada inversa de Laplace da função F(s)=e^-pi ss^2 é dada por f(t)=(t-pi) u(t-pi).

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um probleminha de inversão de Laplace usando o truque do deslocamento no tempo. O enunciado diz que

e pede pra mostrar que
.
Então vamos precisar:
  1. Saber qual é a transformada inversa de .
  2. Entender a teoria do teorema do deslocamento (time-shift).
  3. Conhecer a função de passo unitário .

Passo 2

Primeiro, sem o deslocamento, qual é
L^-11s^2;?
Na tabela básica de Laplace a gente tem
Lt ;=;integral0^inftyt,e^-s t,dt ;=;1s^2
Logo, invertendo,
L^-11s^2 ;=; t
Em outras palavras, a função “base” aqui é .

Passo 3

Agora a mágica do deslocamento:
Se L,f0(t-a),u(t-a), ;=; e^-a s,F0(s) , então
u(t-pi)= 0, & t=pi
Aqui L(t-pi),u(t-pi) =;e^-pi s, Lt =;e^-pi s,1s^2 é o tempo de atraso. No nosso caso L^-1e^-pi ss^2 =;(t-pi),u(t-pi) e .
– A função de passo unitário é
Aplicando o teorema com e :
Inversamente,

Resposta

boxedf(t) ;=;(t-pi),u(t-pi)

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