Usando a Transformada de Laplace, resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, aqui tá o enunciado resumido: usar a Transformada de Laplace pra resolver o problema de valor inicial
Matéria envolvida: equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes e transformada de Laplace.
O que vamos precisar:
- A definição e propriedades da Transformada de Laplace, especialmente pra derivadas:
- A transformada de
, que é . - Técnica de frações parciais (ou manipulação algébrica) e a tabela inversa pra voltar ao tempo
.
Passo 2
Aplicar Laplace em ambos os lados da equação:
Usando as fórmulas de derivada e colocando
Passo 3
Substituindo as condições iniciais
e
:
-
-
Então a equação vira
ou, agrupando os termos em
Passo 4
Isolamos
:
Logo
Para inverter direitinho, escrevemos o numerador em função de
então
$$Y(s)=-\frac{(s+1)2}{(s+1)3}+\frac{1}{(s+1)^3}
=-\frac1{s+1}+\frac1{(s+1)^3}.$$
Passo 5
Agora é bola pra frente: aplicamos a transformada inversa. Da tabela:
-
, -
.
Logo
$$y(t)=-e{-t}+\frac{t2}{2},e^{-t}
=\Bigl(\tfrac{t2}{2}-1\Bigr)e{-t}.$$