Usando a Transformada de Laplace, resolva o seguinte problema de valor inicial:
y^prime prime+2 y^prime+y=e^-t, com y(0)=-1, y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, aqui tá o enunciado resumido: usar a Transformada de Laplace pra resolver o problema de valor inicial
y'' + 2y' + y = e^-t, y(0)=-1, y'(0)=1
Matéria envolvida: equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes e transformada de Laplace.
O que vamos precisar:
- A definição e propriedades da Transformada de Laplace, especialmente pra derivadas:
Ly'(t)=sY(s)-y(0), Ly''(t)=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)
  • A transformada de e^-t, que é 1s+1.
  • Técnica de frações parciais (ou manipulação algébrica) e a tabela inversa pra voltar ao tempo t.

Passo 2

Aplicar Laplace em ambos os lados da equação:
Ly'' +2, Ly' + Ly ;=; Le^-t
Usando as fórmulas de derivada e colocando Y(s)= Ly(t), temos:
l(s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)r)+2l(sY(s)-y(0)r)+Y(s)=1s+1

Passo 3

Substituindo as condições iniciais y(0)=-1 e y'(0)=1:
  • ;s^2Y(s)-s(-1)-1 = s^2Y(s)+s-1,
  • ;2l(sY(s)-(-1)r)=2sY(s)+2
    Então a equação vira
(s^2Y(s)+s-1)+(2sY(s)+2)+Y(s)=1s+1
ou, agrupando os termos em Y(s) e constantes,
(s^2+2s+1),Y(s);+;(s-1+2)=1s+1
Longrightarrow (s+1)^2,Y(s)+(s+1)=1s+1

Passo 4

Isolamos Y(s):
(s+1)^2Y(s)=1s+1-(s+1) =1-(s+1)^2s+1 =-s(s+2),s+1,
Logo
Y(s)=-s(s+2)(s+1)^3
Para inverter direitinho, escrevemos o numerador em função de (s+1):
-s(s+2)=-(s+1)^2+1,
então
$$Y(s)=-\frac{(s+1)2}{(s+1)3}+\frac{1}{(s+1)^3}
=-\frac1{s+1}+\frac1{(s+1)^3}.$$

Passo 5

Agora é bola pra frente: aplicamos a transformada inversa. Da tabela:
  • L^-1tfrac1s+1=e^-t,
  • L^-1tfrac1(s+1)^3=t^22,e^-t.
    Logo
$$y(t)=-e{-t}+\frac{t2}{2},e^{-t}
=\Bigl(\tfrac{t2}{2}-1\Bigr)e{-t}.$$

Resposta

boxedy(t)=l(tfract^22-1r)e^-t

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